[[분류:대수학]] [[분류:선형대수학]] [[분류:기하학]] [[분류:해석학(수학)]][include(틀: 선형대수학)] Hermitian inner product == 개요 및 정의 == 프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 복소 벡터공간에서 정의내린 특수한 내적을 의미한다. 원래 복소공간은 벡터공간의 성질을 그대로 유지하고 있기 때문에, 벡터합과 스칼라곱이 정의되지만, 자기 자신을 내적할 때 실수가 나와야 한다는 전제조건을 만족시키는 연산이 존재하지 않는다. 이걸 보완하기 위해 sesquilinear form[* 대한수학회의 공식 번역명은 반쌍형적 형식. 본문에 표기한 에르메트 내적은 右반쌍형적&左선형성 형식이다.]을 도입해서 새롭게 만들어진 연산이 바로 에르미트 내적이다. 즉 에르미트 내적은 다음의 5가지 조건을 만족하는 함수 [math(\left< - , - \right> : V \times V \rightarrow \mathbb{C})]로 정의된다. * [math(\left<u+v, w\right>=\left<u, w\right>+\left<v, w\right>)] * [math(\left<u, v+w\right>=\left<u, v\right>+\left<u, w\right>)] * [math(\left<\alpha u, \beta v\right>=\alpha\displaystyle{\overline{\beta}}\left<u, v\right>)](단, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{C})]) * [math(\left<u, v\right>=\displaystyle{\overline{\left<v,u\right>}})] * [math(\left<u,u\right>\geq 0)], [* 네번째 조건을 이용하면 [math(\left<u,u\right>)]은 항상 실수라는 것을 증명할 수 있으므로, 부등호가 의미를 갖는다.] 등호는 [math(u=0)]일 때만 성립 다섯번째 조건에 의해 [math(\sqrt {\left<u,u\right>}=||u||)]로 표기할 수 있고, 이를 [math(u)]의 거리 혹은 [[노름]]이라 부르기도 한다. (즉 [[삼각부등식]]을 만족시키고, 벡터공간의 [[노름]]의 성질도 만족시킨다.) 여기서 다섯번째 조건만 탈락하면 반쌍형적 형식의 정의가 되고, 이를 에르미트 형식(Hermitian form)이라 부르기도 한다. 에르미트 형식에 양수조건이 추가된 것이 에르미트 내적이라 할 수 있다. 참고로 위의 정의는 왼쪽 변수에 대해 선형이고 오른쪽 변수에 대해 켤레 선형(conjugate linear)적인데, 반대로 정의할 수도 있다. [[수학]]에서는 반반이고, [[물리학]]에서는 거의 무조건 오른쪽 변수에 대해 선형인 관습을 취한다. 한편, 이를 [[폴 디랙]]이 이를 약간 변형시키기도 했는데 [[디랙 표기법]]이라고 한다. == 예시 == 기본적인 예시로는 [math(\mathbb{C}^{n})]상에서 [math(\left<z, w\right>=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} z_{i}\overline{w_{i}}})]([math(z=\left(z_1, z_2, ..., z_n\right), w=\left(w_1, w_2, ..., w_n\right))])으로 정의하는 내적이 있다. 마치 유클리드 공간의 기본 내적(standard inner product) 정도의 지위를 갖고 있는 녀석이다. 유클리드 공간에도 다른 내적이 있듯이 [math(\mathbb{C}^n)] 위에서도 다른 내적이 있고, 이들은 모두 에르미트 행렬 (즉 [math( A^{*} = A)])에 대해 [math( \left<z,w\right> = \bar{w}^t A z)]의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 물론 저렇게만 쓰면 에르미트 형식이고, [math(A)]의 고윳값이 모두 0보다 큰 양의 정부호성(positive definiteness)을 만족해야 내적이 될 수 있다. 공간 위의 함수에 대해 [math(\left<f,g\right> = \int f(x) \overline{g(x)} dx)]을 [math(L^2)] 내적이라 부르고, 이 [math(L^2)] 내적이 유한한 함수들의 벡터공간을 [math(L^2)] 공간이라 부른다. == 힐베르트 공간 == 에르미트 내적을 갖고 있고, 이 에르미트 내적으로 정의된 거리에 대해 완비성(completeness)을 가진 (즉 임의의 코시수열이 수렴하는) 공간을 '''힐베르트 공간'''(Hilbert space)이라 부른다. 모든 유한차원의 에르미트 내적공간과 [math(L^2)] 공간 모두 힐베르트 공간이지만, 모든 에르미트 내적공간이 완비성을 지닌 것은 아니다. 다만 완비화(completion)의 과정을 통해 힐베르트 공간으로 만들어줄 수는 있다.