[[분류:수학 용어]][[분류:수열]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == <math>n</math>번째 항을 <math>n</math>보다 작은항들의 관계식으로서 '귀납적([[歸]][[納]][[的]])'으로 [[수열]]([[數]][[列]])을 정의([[定]][[義]])하는 것. 수열 자기 자신의 항들로 정의한다고 해서 '재귀적([[再]][[歸]][[的]]) 정의'라고도 한다. 이렇게 나타낸 식을 '''[[점화식]]'''이라고 한다. 수열의 귀납적 정의에서는 한 수열의 여러 항이 동시에 등장하는데 수열의 모든 항을 유일하게 결정하려면, 처음 몇 개 항의 값을 밝혀주어야 한다. 예를 들어 수열 [math(a_n)]을 [math(a_n=a_{n-1}+2)]로 정의하고 싶다면, [math(a_1)]에 값을 줘야 모든 항의 값을 결정할수 있다. 반면, <math>a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}</math>의 경우에는 <math>a_{1}</math>과 <math>a_{2}</math>에 값을 줘야 한다. 점화식으로부터 일반항을 구하는 것은 경우에 따라서 매우 어렵다. 쉽게 말해 [[미적분학]]의 상미분방정식 위치에 있다고 보면 되지만, 난이도는 심지어 미분방정식보다 더 어렵다. == 점화식을 일반항으로 바꾸기 == === 기본 === ==== [[등차수열]] ==== 등차수열의 점화식은 [math(a_{n+1}=a_n+d)] 꼴이다. [math(n)]에 [math(1)]부터 [math(n-1)]까지의 자연수를 차례로 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \cancel{a_2}&=a_1+d \\ \cancel{a_3}&=\cancel{a_2}+d \\ &\quad \; \; \vdots \\ \cancel{a_{n-1}}&=\cancel{a_{n-2}}+d \\ +\qquad a_n&=\cancel{a_{n-1}}+d \\ \hline \therefore a_n&=a_1+(n-1)d \end{aligned})]}}} [[등차중항]]을 이용하여 [math(2a_{n+1}=a_n+a_{n+2})]로 정의할 수도 있다. ==== [[등비수열]] ==== [[등비수열]]의 점화식은 [math(a_{n+1}=ra_n)] 꼴이다. [math(n)]에 [math(1)]부터 [math(n-1)]까지의 자연수를 차례로 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \cancel{a_2}&=ra_{1} \\ \cancel{a_3}&=r\cancel{a_{2}} \\ & \; \; \vdots \\ \cancel{a_{n-1}}&=r\cancel{a_{n-2}} \\ \times\qquad a_n&=r\cancel{a_{n-1}} \\ \hline \therefore a_n&=a_1r^{n-1} \end{aligned})]}}} [[등비중항]]을 이용하여 [math({a_{n+1}}^2=a_na_{n+2})]로 정의할 수도 있다. === 심화 === ==== 형태 1 ==== [math(pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0)](단, [math(p+q+r=0)])에서 [math(a_n)]의 일반항을 도출해 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} pa_{n+2}-pa_{n+1}+ra_n-ra_{n+1}&=0 \\ p(a_{n+2}-a_{n+1})&=r(a_{n+1}-a_n) \\a_{n+2}-a_{n+1}&=\dfrac{r}{p}(a_{n+1}-a_n) \quad (\because q=-(p+r))\end{aligned})]}}} 이때, [math(b_{n})]을 아래와 같이 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(b_n=a_{n+1}-a_n \quad \to \quad b_n=\dfrac{r}{p}b_{n-1})]}}} 이는 수열 [math(b_n)]에 대한 귀납적 정의이다. 앞서 알아본 대로 [math(b_n)]은 공비가 [math(r/p)]인 등비수열이 되며 일반항은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(b_n=b_1\left(\dfrac{r}{p}\right)^{n-1}=(a_2-a_1)\left(\dfrac{r}{p}\right)^{n-1})]}}} 한편, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} b_1&=\cancel{a_2}-a_1 \\ b_2&=\cancel{a_3}-\cancel{a_2} \\ &\quad \; \; \vdots \\ b_{n-2}&=\cancel{a_{n-1}}-\cancel{a_{n-2}}\\ +\qquad b_{n-1}&=a_{n}-\cancel{a_{n-1}} \\ \hline \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k&=a_n-a_1 \quad \to \quad a_n=\sum_{k=1}^{n-1} b_k+a_1 \end{aligned})]}}} ==== 형태 2 ==== [math(a_{n+1}=pa_n+q)](단, [math(p \neq 0)], [math(p \neq 1)], [math(q \neq 0)])에서 [math(a_n)]의 일반항을 도출해 보자. 우선 적당한 [math(\alpha)]를 찾아, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(a_{n+1}-α=p(a_n-α))] }}} 의 꼴로 변환한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(b_n=a_n-\alpha)]}}} 로 놓으면 [math(b_{n+1}=pb_n)]이므로 [math(b_n)]은 공비가 [math(p)]인 등비수열이다. 이에 따라 [math(a_n)]의 일반항은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} b_n &=b_1⋅p^{n-1}\\a_n-\alpha&=(a_1-\alpha)p^{n-1}\\ \\ \therefore a_n&=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha \end{aligned})]}}} ==== 형태 3 ==== [math(a_{n+1}={pa_n}/{(qa_n+r)})]의 일반항을 도출해 보자. 양변에 역수를 취하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{qa_n+r}{pa_n} \quad \to \quad \dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}⋅\dfrac{1}{a_n})]}}} [math(b_n=1/{a_n})]로 놓으면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(b_{n+1}=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}b_n)]}}} 이 형태는 [math(q\neq 0)]이면 앞서 설명한 [math(a_{n+1}=pa_n+q)](단, [math(p \neq 0)], [math(p \neq 1)], [math(q \neq 0)])와 같으며, [math(q=0)]이면 [math(b_n)]은 공비가 [math(r/p)]인 등비수열이 된다. == 일반항을 구하기 어려운 경우 == 앞서 설명한 것들은 그래도 풀이가 매우 단순하고 정형화된 축에 속하며, 점화식이 교육과정에서는 삭제되었을지언정 고등학생들도 내신과 수능을 위해 공부하면 좋을 내용이다. 그러나 수열을 귀납적으로 정의하는 방법은 얼마든지 다양하며, 그 한없이 다양한 정의에 대하여 정형화된 일반항 도출 방법을 얼른 얻어낼 수가 없기 때문에, 비슷한 특성이 있는 [[미분방정식]]과 함께 종종 거론된다. 단적인 예로 [[피보나치 수열]]이 있다. 피보나치 수열은 두 개의 [math(1)]로 시작하여 앞 두 항을 더하여 새로운 항을 계속 얻어내는 수열이므로 점화식 도출이야 일도 아니다. 그러나 피보나치 수열의 일반항을 구하기란 쉽지 않은데, 상당히 일반항이 복잡하다. 자세한 사항은 [[피보나치 수열]] 문서를 참고하라. 그 외에, [[완전순열]]도 점화식까지는 어느 정도 머리를 쓰면 도출해낼 수 있지만 그를 바탕으로 일반항을 구하기란 역시 까다롭다. [[완전순열]] 참고. [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=수열, version=199, paragraph=2.2)]