[include(틀:양자역학)] Perturbation theory [목차] == 개요 == 섭동 이론이란 원래 물리학 전반에서 정확한 해가 잘 알려진 어떤 계에 미세한 변화를 줬을 때 그 해가 어떻게 변화하는지를 수학적으로 풀어내기 위한 도구인데, 특별한 경우가 아니면 보통 양자역학에서의 섭동 이론을 지칭하게 된다. 따라서 본 문서에서도 양자역학의 섭동 이론에 대해 기술한다. == 시간에 무관한 섭동 이론 == [[슈뢰딩거 방정식]]의 경우와 마찬가지로 섭동이 시간에 의존하지 않는 경우와 의존하는 경우로 나눠서 생각해 볼 수 있는데, 먼저 '''시간에 무관한 섭동 이론(time-independent perturbation theory)'''에 대해서 살펴 보도록 한다. 외부에서 어떠한 영향도 받지 않을 때의(unperturbed) [[해밀토니안]]을 [math(\mathcal{H}_{0})]라 하고 외부에서 영향을 주는(그러나 시간에 무관한) 섭동(perturbation)을 [math(\mathcal{H}')]라고 하면 계의 (변화한) 총 해밀토니언은 [math(\mathcal{H}=\mathcal{H}_{0}+\mathcal{H}')]이 된다. 이 때 원래 해밀토니안에 대한 방정식을 [math(\mathcal{H}_{0} \left| n^{0} \right> = E_{n}^{0} \left| n^{0} \right> )] 이라 하면 [math(E_{n}^{0})]과 [math(\left| n^{0} \right>)]은 잘 알려져 있다고 하고(특히[math(\left| n^{0} \right> )]들은 직교 규격화(orthonormalized)되어 있다고 본다), 이제 이로부터 [math(\mathcal{H} \left| n \right> = E_{n} \left| n \right>)]의 해를 얻고자 한다(마찬가지로 [math(\left| n \right>)]들은 직교 규격화되어 있다고 본다). 이 과정에서 다시 해들의 겹침 상태(degenerated)가 있는지 없는지에 대해서 경우가 또 갈리게 된다. 겹침 상태란 어떤 계에서 서로 다른 두 개 이상의 상태함수가 같은 고유 에너지를 가질 때를 말하는데 특히 겹침 상태일 경우, 이 섭동에 의해서 그 겹침이 갈라지게 되는 경우가 자주 발생한다. === 예시 === [[수소]] 원자의 에너지 준위가 n=2 이상일 때부터 s오비탈 1개와 p오비탈 3개 등 서로 다른 [[오비탈]] 자리에 전자가 들어가 있을 수 있지만, 그 에너지 준위는 모두 같다.[* 사실 '''같지 않다.''' 이유는 후술.] 즉 에너지 준위가 겹침 상태에 있다고 말할 수 있다. 그런데 이 때 외부에서 전기장을 걸어 주면 전자가 [[전기장]]의 영향을 받아 이 에너지 준위가 여러 갈래로 갈라지게 되는데, 이를 '''[[슈타르크 효과]](Stark effect)'''라고 한다. 이 외부 전기장에 의한 섭동을 [math(\mathcal{H}')]로 놓고 계산하면 이 에너지가 얼마나 갈라지는지를 구할 수 있다. 또한 전기장 뿐만 아니라 [[자기장]]을 걸어줘도 전자의 전체 각운동량(궤도 각운동량 + 스핀)이 영향을 받아 에너지 준위가 바뀌게 되는 것을 알 수 있는데, 이를 '''[[제이만 효과]](Zeeman effect)'''라고 한다. 그런데 외부에서 이런 섭동이 가해지지 않아도 수소 원자 내에서 일어나는 여러가지 현상 때문에 수소 원자의 각 상태마다 에너지 준위가 미세하게 차이가 난다. 일단 전자가 원자핵을 매우 빠른 속력으로 자전하고 있음을 고려해서 해밀토니언에서 운동량 부분을 [[상대성 이론|상대론]]적으로 보정해주게 된다면 원래 해밀토니언에서 추가로 생성되는 항이 생기게 되고 이를 섭동 이론으로 계산한다면 보다 올바른 수소 원자의 에너지 준위를 구할 수 있다. 또한 위에서 말한 궤도 각운동량과 스핀이 외부 자기장이 없이 그 자체만으로 서로 영향을 받기 때문에(L-S coupling) 이것에 의한 섭동 또한 상대론적인 보정과 함께 더해주면 더 정밀하게 수소 원자의 에너지 준위를 예측할 수 있다. 이것을 '''미세 구조(fine structure)'''라고 한다. 또한 수소 원자핵 또한 스핀을 가지고 있으므로 자기장의 영향을 받게 되는데, 이렇게 갈라지는 것은 미세 구조보다 훨씬 미세하다고 '''초미세 구조(hyperfine structure)'''라고 한다(...) == 시간에 의존하는 섭동 이론 == 섭동이 시간에 의존해서 계가 시시각각 변할 때, 즉 [math(\mathcal{H} = \mathcal{H}_{0}+\mathcal{H}'(t))]일 때를 풀고자 할 때 쓰이는 기법이 '''시간에 의존하는 섭동 이론(time-dependent perturbation theory)'''이다. 이럴 때는 계의 상태 사이에 시간에 따른 전이가 일어나게 되어서, 그 시간마다 어느 상태로 전이가 일어날 확률이 얼마나 되는지를 구하게 된다. 예를 들어 외부에서 [[전자기파]]를 어떤 계에 조사하게 되면, 전자기파는 시간에 따라서 끊임없이 전기장과 자기장이 진동하는 파동이므로 이 시간에 의존하는 섭동 이론을 이용해서 풀었을 때 계의 원래 상태에 있던 전자가 언제 어느 상태로 얼만큼 들뜰지를 계산할 수 있다. === 단열 근사와 베리 위상 === 시간에 따른 계의 [[해밀토니언]]의 변화가 다소 느리다면, 우리는 이 계를 단열 근사(adiabatic approximation)시켜서 풀 수 있다. 또한 계가 주기성을 가지고 어느 정도 시간이 흐른 뒤에 처음의 상태로 되돌아 온다면 베리 위상(Berry's phase)--딸기 위상이 아니다--의 개념을 도입하게 된다. 혹은 기하학적 위상(geometric phase)이라고도 한다. == 한계 == [[해밀토니언]]의 변화가 다소 크거나, 혹은 수소 원자를 넘어서 헬륨 원자나 수소 분자 이온 [math(\mathrm{H_{2}^{+}})] 등의 복잡한 계를 다루게 될 때는 이 섭동 이론조차 제대로 맞지 않는 경우가 생겨서, [[WKB 근사법]]이나 [[변분 원리]] 등의 다른 근사법을 도입해야 된다. 그런데, 만약 짧은 시간동안만 상호작용하면 섭동이 일어난다는 사실[* 단, [[해밀토니언]]의 변화량이 무한대가 되어선 안된다.]과, 유한한 시간동안 섭동이 일어나는 횟수는 짧은시간을 무수히 나눈 수 만큼 반복됨을 이용하면, 해밀토니안의 변화가 작지 않더라도 계산이 가능하다는 것을 알 수 있다. 다만, 계산이 가능할 뿐 여전히 문제가 남게 되는데, 입자물리학에서 에너지가 높아지면 높아질 수록 양자상태가 붕괴하여 다른 입자로바뀔 확률이 무한대로 향하는 문제가 발생한다. 이것 또한 해결할 수 있는 방도가 있는데, 그것이 바로 [[재규격화]](Renormalisation)이다. [[분류:물리학]]