[include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == 이 문서에서는 [math(\epsilon_{0})] 이상의 큰 가산서수를 설명하며 이보다 작은 '작은' 가산서수에 대해서는 [[서수(수학)]] 문서 참고. == [math(\epsilon_{0})] 에서 [math(\zeta_{0})]까지 == [math(\epsilon_{0})]가 최초로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수인 것과 같이, [math(\epsilon_{1})]은 두 번째로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수이다. 이것을 정의하기 위해서는 또 다른 긴 과정이 필요하다. 0에서 [math(\epsilon_{0})]까지의 과정을 한 번 더 반복하면 [math(\epsilon_{0}2)]을 얻고, [math(\epsilon_{0})], [math(\epsilon_{0}2)], [math(\epsilon_{0}3)]의 극한으로 [math(\omega\epsilon_{0})]을 얻는다. 그리고, [math(\epsilon_{0}=\omega^{\epsilon_{0}})]이므로 [math(\omega\epsilon_{0}=\omega\times\omega^{\epsilon_{0}}=\omega^{\epsilon_{0}+1})]이다! 똑같이 지금까지의 과정을 반복해서 [math(\omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}})]을 정의할 수 있다. 이제 서수의 수열 [math(\{\epsilon_{0}+1, \omega^{\epsilon_{0}+1}, \omega^{\omega^{\epsilon_{0}+1}}, \cdots\})]을 생각해볼 수 있다. 이 수열의 극한은 [math(\epsilon_{0})]보다 큰 것이 자명하며, 또한 [math(\omega^\alpha=\alpha)]을 [math(\epsilon_{0})]보다 큰 서수들 중에서 최초로 만족한다. 따라서, 이 수열의 극서수가 [math(\epsilon_{1})]이다. 이렇게 [math(\epsilon_{1})]을 정의했으니, 같은 방식으로 [math(\epsilon_{2})], [math(\epsilon_{3})], 더 나아가서는 [math(\{\epsilon_{0}, \epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \cdots\})]의 극서수인 [math(\epsilon_{\omega})], 더욱 나아가서 [math(\epsilon_{\epsilon_{0}})]까지 정의할 수 있다. 그럼 이제 또 다시 서수의 수열 [math(\{0, \epsilon_{0}, \epsilon_{\epsilon_{0}}, \epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{0}}}, \cdots\})]을 생각해 볼 수 있다. 이 수열의 극서수를 [math(\zeta_{0})]으로 표기한다. [math(\epsilon_{0})]가 최초로 [math(\omega^\alpha=\alpha)]를 만족하는 것과 비슷하게, [math(\zeta_{0})]은 최초로 [math(\epsilon_\alpha=\alpha)]를 만족하는 서수이다. 이 서수를 읽을 때는 [[칸토어]]의 서수 혹은 그냥 [[제타]] 서수라고 읽는다. == [math(\zeta_{0})] 에서 [math(\Gamma_{0})]까지 == 맨 먼저 유의해야 하는 사실은, [math(\zeta_{0})] 역시 [math(\epsilon)] 서수들에 속하므로 [math(\zeta_{0}=\omega^{\zeta_{0}})]이라는 것이다. 따라서, 위에서와 똑같이 [math(\omega\zeta_{0}=\omega\times\omega^{\zeta_{0}}=\omega^{\zeta_{0}+1})]가 성립하며, 위에서와 비슷하게 서수의 수열 [math(\{\zeta_{0}+1, \omega^{\zeta_{0}+1}, \omega^{\omega^{\zeta_{0}+1}}, \cdots\})]를 정의할 수 있다. 이 수열의 극서수는 [math(\zeta_{0}=\epsilon_{\zeta_{0}})] 바로 다음에 나타나는 [math(\epsilon)] 서수이므로 [math(\epsilon_{\zeta_{0}+1})]이다. 비슷한 방식으로 [math(\epsilon)] 서수들을 계속 정의할 수 있다. 이제 다음 단계로 서수 수열 [math(\zeta_{0}+1, \epsilon_{\zeta_{0}+1}, \epsilon_{\epsilon_{\zeta_{0}+1}}, \cdots)]의 극한서수를 생각해보자. [math(\epsilon_{1})]과 비슷하게, 이 수열의 극한서수는 [math(\zeta_{0})] 이후 최초로 [math(\epsilon_\alpha=\alpha)]을 만족하므로 [math(\zeta_{1})]이다. [math(\epsilon)] 서수에서 했던 것과 비슷하게 위의 과정을 반복한다면 서수 수열 [math(\{0, \zeta_{0}, \zeta_{\zeta_{0}}, \zeta_{\zeta_{\zeta_{0}}}, \cdots\})]을 상상할 수 있다. 이 수열의 극서수는 자주 쓰이지는 않지만 그리스 문자 [[에타]]를 써서 [math(\eta_{0})]이라고 쓴다. 당연히, [math(\zeta_{\eta_{0}}=\eta_{0})]이며 이 서수는 [math(\zeta_{\alpha}=\alpha)]을 만족하는 최초의 서수다. 지금까지의 과정을 복습해보면, [math(\omega^\alpha=\alpha)]을 만족하는 서수들을 [math(\epsilon)]으로 나타냈으며, [math(\epsilon_\alpha=\alpha)] 을 만족하는 서수들을 [math(\zeta)]로 나타냈고, [math(\zeta_{\alpha}=\alpha)]을 만족하는 서수는 [math(\eta)]로 나타냈다. 수학자 오스왈드 베블런은 이렇게 함수의 부동점을 이용하여 정의된 서수들을 일반화하여 베블런 함수를 만들어냈다. 베블런 함수 [math(\phi_\beta(\alpha))]는 인수 및 결과값으로 서수를 갖는 함수이며, 이렇게 재귀적으로 정의된다. 1. [math(\phi_0(\alpha)=\omega^\alpha)] 1. [math(0<\beta)]이고 [math(\delta<\beta)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\phi_\delta(\alpha))]가 정의되었을 때, [math(\phi_{\beta}(\gamma))]는 [math(\gamma)]"번째"로 그 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\phi_\delta)]의 부동점이 되는, 즉 [math(\phi_\delta(\alpha)=\alpha)]을 만족하는 서수[* 따라서, [math(\phi_1(\alpha)=\epsilon_\alpha)], [math(\phi_2(\alpha)=\zeta_\alpha)], [math(\phi_3(\alpha)=\eta_\alpha)]이 된다!] 이제 [math(\phi_1(0))], [math(\phi_2(0))], [math(\phi_3(0))]를 정의했으니 마찬가지로 나아가서 [math(\phi_\omega(0))]를 정의할 수 있다. 저 [math(\omega)]에서 멈출 필요 없이, [math(\epsilon_0)], [math(\zeta_0)], 심지어 [math(\eta_0)]까지 갈 수도 있으며, 이렇게 한 번 더 반복한다면 [math(\phi_{\phi_\omega(0)}(0))]를 얻을 것이다. 똑같은 방법으로 계속 중첩시켜 나가면, [math(\phi_{\phi_{\phi_\cdots(0)}(0)}(0))]을 얻는다. 이 서수는 Feferman–Schütte 서수라 불리며 [math(\Gamma_{0})]이라고 쓴다. 이 서수는 [math(\phi)] 자체에 대하여 부동점이다. 즉, [math(\phi_{\Gamma_{0}}(0)=\Gamma_{0})]이 성립한다. == 다변수 베블런 함수 == 편의를 위해 위의 베블런 함수 [math(\phi_\beta(\alpha))]를 이제부터 [math(\phi(\beta, \alpha))]로 쓰고, 특히 [math(\phi_0(\alpha)=\omega^\alpha)]는 [math(\phi(\alpha))]로 쓰도록 하자. 이제 [math(\phi)]가 변수 한 개인 경우와 두 개인 경우에 대해 정의되었으므로, 변수 세 개인 경우에 대해서도 확장할 수 있다. 1. [math(\phi(0, \beta, \alpha)=\phi(\beta, \alpha))] 1. [math(0<\rho)]이면 [math(\phi(\rho, 0, \gamma))]는 [math(\delta<\rho)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\phi(\delta, \alpha, 0)=\alpha)]를 [math(\gamma)]"번째"로 만족하는 서수이다.[* 따라서 [math(\phi(1, 0, 0)=\Gamma_0)]] 1. [math(0<\beta)]이면 [math(\phi(\rho, \beta, \gamma))]는 [math(\delta<\beta)]인 모든 [math(\delta)]에 대해 [math(\phi(\rho, \delta, \alpha)=\alpha)]를 [math(\gamma)]"번째"로 만족하는 서수이다. 이 정의는 [math(0=\rho)]인 경우에도 위의 정의들과 모순이 없다. 계속 진행한다면, 충분히 큰 서수는 [math(\phi(\alpha, 0, 0)=\alpha)]을 만족시킬 수 있기 때문에 이 확장으로도 제대로 나타낼 수 없다. 이러한 서수를 수학자 빌헬름 아커만의 이름을 따 아커만 서수라고 부른다. 이 서수는 [math(\phi)]를 더욱 확장하여 [math(\phi(1, 0, 0, 0))]이라고 나타낼 수 있다. 더욱 나아가, 서수들의 수열 [math(\{\phi(1), \phi(1, 0), \phi(1, 0, 0), \phi(1, 0, 0, 0), \cdots\})]을 생각할 수 있다. 이 수열의 극서수는 유한한 인수를 가진 베블런 함수로 나타낼 수 없는 최초의 서수다. 이 서수는 작은 베블런 서수 (Small Veblen Ordinal)이라고 부른다. 더욱 나아가, 초한 개의 인수를 가지는 베블런 함수도 생각할 수 있다. 작은 베블런 서수는 이 함수의 [math(\omega)]번째 인수가 1, 나머지 인수가 0인 경우의 함수값이 될 것이다. 하지만 이런 함수 한계에 부딪히게 되며, 초한 베블런 함수로 나타낼 수 없는 가장 작은 서수를 큰 베블런 서수 (Large Veblen ordinal)로 부른다. == 서수 붕괴 함수 == 이렇듯 큰 가산서수들의 정의는 복잡하기 때문에, 집합론 수학자들은 이 가산서수들을 더 편리하게 나타내 더욱 큰 서수를 나타낼 방법을 고안했다. 아직 표기법이 통일되지 않았지만 ([[http://googology.wikia.com/wiki/Ordinal_notation#Ordinal_collapsing_function|다양한 표기법이 정리된 문서]]), 최초로 만들어진 하인츠 바흐만(Heinz Bachmann)의 [math(\psi)] 함수를 쓰면 지금까지 소개된 서수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, [math(\Omega)]는 가장 작은 불가산 서수를 나타낸다. 1. [math(\zeta_{0})] 이하인 모든 서수 [math(\alpha)]에 대해, [math(\psi(\alpha)=\alpha)] 1. [math(\psi(\Omega)=\zeta_{0})] 1. [math(\psi(\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_{0}+1})] 1. [math(\psi(\Omega2)=\zeta_{1})] 1. [math(\psi(\Omega^2)=\eta_{0})] 1. [math(\psi(\Omega^\Omega)=\Gamma_{0})] 1. [math(\psi(\Omega^{\Omega^2}))]는 아커만 서수 1. [math(\psi(\Omega^{\Omega^\omega}))]는 작은 베블런 서수 1. [math(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega}))]는 큰 베블런 서수 집합 [math(S=\{0, 1, \omega, \Omega\})]를 준비한다. 집합 [math(C(0))]은 [math(S)]의 원소들과 덧셈, 곱셈, 지수를 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 그럼 [math(C(0))]에는 [math(1, 2, 3, ...,\omega, \omega+1, \omega2, \omega^2, \omega^\omega, ..., \Omega, \Omega+1, \Omega+\omega, \Omega^\Omega)]과 같은 서수들이 포함되어 있다. 그런데 [math(C(0))]에는 [math(\epsilon_0)]이 포함되어 있지 않다. "유한 번" 사용해야 한다고 했으므로, [math(\omega)]가 무한 번 지수로 올려진 [math(\epsilon_0)]은 원소가 될 수 없는 것이다. 따라서 [math(\psi(0))]는 첫 번째로 도달할 수 없는 서수인 [math(\epsilon_0)]로 정해진다. 그런 다음, [math(C(1))]을 [math(C(0))]의 원소들과 [math(\psi(0)=\epsilon_0)]을 유한 번 사용하여 만들 수 있는 모든 서수의 집합으로 정의한다. 아까와 마찬가지로, [math(\omega)]나 [math(\epsilon_0)][* [math(\epsilon_1)]은 [math(\epsilon_0^{\epsilon_0^{\epsilon_0^{.^{.^{.^{.}}}}}})]으로도 쓸 수 있다.]를 무한 번 써야하는 [math(\epsilon_1)]은 [math(C(1))]에 없다. 따라서 [math(\psi(1)=\epsilon_1)]이 된다. 같은 방법으로 [math(C(2))]를 [math(C(1))]의 원소들과 [math(\psi(1))]을 유한 번 사용해 만들 수 있는 서수의 집합으로 정의하고, [math(\psi(2)=\epsilon_2)]가 된다. 이쯤 되면 [math(\psi(\alpha)=\epsilon_\alpha)]임을 알 수 있다. 위의 식에서 [math(\psi(\epsilon_\alpha)=\epsilon_{\epsilon_\alpha}, \psi(\epsilon_{\epsilon_\alpha})=\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_\alpha}})] 등도 얻어낼 수 있지만, [math(\epsilon)]을 무한 번 사용해야 하는 [math(\zeta_0)]은 이전과 같은 방법으로 얻어낼 수 없다. 여기서 [math(\Omega)]가 등장한다. [math(\psi(\zeta_0))]를 계산하면, [math(\epsilon_{\zeta_0}=\zeta_0)]가 된다. [math(\zeta_0)]보다 큰 어떤 서수를 넣어도 결과값으로 [math(\zeta_0)]이 나온다. 그런데 [math(\Omega)]가 [math(\zeta_0)]보다는 크기 때문에, [math(\psi(\Omega)=\zeta_0)]이 된다. 계속해서 [math(C(\zeta_0+1))]은 [math(C(\zeta_0))]의 원소들과 [math(\psi(\Omega)=\zeta_0)]를 유한 번 사용해 만들 수 있는 모든 서수의 집합이 되고, 여기에 없는 최초의 서수는 [math(\zeta_0)]의 바로 다음 [math(\epsilon)]인 [math(\epsilon_{\zeta_0+1})]이다. 따라서 [math(\psi(\Omega+1)=\epsilon_{\zeta_0+1})]이다. [math(\psi(\Omega+2))]는 그 다음 엡실론이 되고, 그 값은 [math(\epsilon_{\zeta_0+2})]이다. 그럼 여기서 [math(\psi(\Omega+\alpha)=\epsilon_{\zeta_0+\alpha})]이라는 것을 알 수 있다. 그런데 앞에서도 그랬듯이 [math(\alpha)]가 [math(\zeta_1)]이상이면 성립하지 않는다. [math(\epsilon_{\zeta_0+\zeta_1}=\epsilon_{\zeta_1}=\zeta_1)]이기 때문이다. [math(\Omega)]를 다시 사용해, [math(\psi(\Omega+\Omega)=\psi(\Omega2)=\zeta_1)]이 된다. 계속하면 [math(\psi(\Omega2+\alpha)=\epsilon_{\zeta_1+\alpha})], 초월하여 [math(\psi(\Omega3)=\zeta_2)]이다. 이를 통해 [math(\psi(\Omega×\alpha)=\zeta_{\alpha-1})][* [math(\alpha)] 뒤에 붙는 -1은 서수들이 [math(\zeta_0)]와 같이 밑첨자가 1이 아닌 0부터 시작하기 때문에 하나씩 당겨져서 붙는 것이다. 어차피 [math(\alpha)]가 [math(\omega)] 이상만 돼도 [math(-1+\omega=\omega)]이기 때문에 무시해도 좋다.]라는 규칙을 알아낼 수 있다. 이 역시도 [math(\alpha)]가 [math(\zeta)]에 대해 부동점인 [math(\eta_0)] 이상이 되면 막히지만, [math(\psi(\Omega×\Omega)=\psi(\Omega^2)=\eta_0)]으로 도달한다. 이처럼 계산을 통해 규칙을 찾아내고, 부동점에 걸릴때마다 [math(\Omega)]로 부동점을 돌파해내어, 다시 계산으로 규칙을 찾는 것을 반복하면 된다. [[분류:집합론]]