[[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 quartic function · [[四]][[次]][[函]][[數]]}}} [[다항함수]] 중에서 최고차항의 차수가 4인 함수. 따라서 모든 사차함수는 다항함수이다. 미분하면 [[삼차함수]]가 되며, 부정적분하면 [[다항함수#s-4.6|오차함수(5차함수)]][*주의 '오차함수'는 Quintic function(다항함수)과 Error function(특수한 [[지수함수]] 역도함수) 두 종류가 있는데, 여기서 말하는 오차함수는 전자이고 나무위키의 [[오차함수]] 문서에 서술되어 있는 것은 후자다.]가 된다. 사차함수의 일반형은 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(y=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E\quad(A\neq 0))]}}} == [[도함수]] == 사차함수 [math(f(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E)]의 도함수는 다음과 같은 [[삼차함수]]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(f'(x)=4Ax^3+3Bx^2+2Cx+D)]}}} == [[역도함수]] == 사차함수 [math(f(x)=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E)]의 역도함수는 다음과 같은 오차함수[*주의]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle\int f(x)\;{\rm d}x=\dfrac{Ax^5}{5}+\dfrac{Bx^4}{4}+\dfrac{Cx^3}{3}+\dfrac{Dx^2}{2}+Ex+\textsf{const.})]}}} [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.[* 고등학교에서는 [math(C)]로 쓰는데, [math(\textsf{const.})]나 [math(C)]나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다.] 다만 고등학교 교육과정에서는 5차 이상의 다항함수는 다루지 않으므로, 사차함수의 부정적분이 필요한 문제는 나오지 않는다. == [[역함수]] == 모든 사차함수의 그래프는 일대일대응이 아니므로 원칙적으로 사차함수의 역함수란 존재하지 않는다. 따라서 역함수를 양함수로 표현하기 위해서는 [[조각적 정의|조각적으로 정의]]하여야 한다. == 개형 == 사차함수의 개형은 크게 '''20가지'''가 있다. 서로 상하 대칭과 좌우 대칭이 될 수 있는 개형은 같은 것으로 본다면 근본적으로는 1, 2, (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10)의 총 여섯 가지의 개형이 있는 셈이다. 최고차항의 계수가 양수이면 [math(+)], 음수이면 [math(-)]를 붙이기로 한다. 이 문서에서 그래프의 개형에 붙인 명칭은 설명의 편의를 위한 지극히 임의적인 것이지 공인되는 명칭이 아님을 일러둔다. ||<-5><tablewidth=100%><tablebordercolor=black><bgcolor=gray> '''{{{+5 {{{#white +}}}}}}''' || || '''{{{+3 1+}}}'''[br][[파일:안커여운1+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 2+}}}'''[br][[파일:안커여운2+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 3+}}}'''[br][[파일:안커여운3+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 4+}}}'''[br][[파일:않귀여운4+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 5+}}}'''[br][[파일:안귀여운5+.png|width=150&height=150]] || || '''{{{+3 6+}}}'''[br][[파일:안커여운6+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 7+}}}'''[br][[파일:안커여운7+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 8+}}}'''[br][[파일:안커여운8+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 9+}}}'''[br][[파일:안커여운9+.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 10+}}}'''[br][[파일:안커여운10+.png|width=150&height=150]] || ||<-5><bgcolor=gray> '''{{{+5 {{{#white -}}}}}}''' || || '''{{{+3 1-}}}'''[br][[파일:안커여운1-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 2-}}}'''[br][[파일:안커여운2-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 3-}}}'''[br][[파일:안커여운3-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 4-}}}'''[br][[파일:안커여운4-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 5-}}}'''[br][[파일:안커여운5-.png|width=150&height=150]] || || '''{{{+3 6-}}}'''[br][[파일:안커여운6-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 7-}}}'''[br][[파일:안커여운7-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 8-}}}'''[br][[파일:안커여운8-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 9-}}}'''[br][[파일:안커여운9-.png|width=150&height=150]] || '''{{{+3 10-}}}'''[br][[파일:않귀여운10-.png|width=150&height=150]] || === 1+ === 1+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 아래로 볼록하며 좌우 대칭([[우함수]])이다. 최고차항의 계수가 양수인 [[이차함수]]의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1+ 개형 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극솟값 [math(f(a))]만을 갖고 극댓값은 갖지 않는다. 극솟값은 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 1+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점이 [math(x)]축 위에 있다.}}}|| 위 조건을 만족시키는 도함수는 삼차함수의 2번 개형과 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다. 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수1.png]] 왼쪽 도함수는 방정식 [math(f'(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 [math(x=a)]가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 [math(f(x)=0)]이 사중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 [math(x=a)]가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 다음과 같다. 먼저 왼쪽 도함수는 삼중근 [math(x=a)]를 가지므로 [math(f'(x)=k(x-a)^3)] [math((k>0))]이다. 이를 [[부정적분]]하면 [math(f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+ \rm C)]이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 [math(\rm C=0)]인 경우를 말한다. 그러면 방정식 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4=0)]은 사중근 [math(x=a)]를 가질 수밖에 없다. 반면, 오른쪽 도함수는 단일근 [math(x=a)]를 가지며 기함수인 삼차함수의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(a)]만큼 평행이동한 그래프를 갖는다. 기함수는 홀수 차수 항만을 가지므로 임의의 기함수인 삼차함수의 식은 [math(g(x)=kx^3+lx)] [math((k>0, l>0))][* [math(l>0)]이어야 [math(g'(x))]가 [math(\rm D<0)]이 되어 [math(g(x))]의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 된다. [math(l=0)]이면 [math(\rm D=0)]이 되고 [math(l<0)]이면 [math(D>0)]이 되어, [math(g(x))]의 그래프의 개형이 위 그래프의 오른쪽 도함수와 같이 될 수 없다.]로 쓸 수 있다. 이를 [math(x)]축 방향으로 [math(a)]만큼 평행이동하면 이에 따라 [math(f'(x)=k(x-a)^3+l(x-a))]이다. 이를 [[부정적분]]하면 [math(f(x)=\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2+\rm C)]이다. 최솟값이 0인 경우란, 그래프를 보면 느낄 수 있듯이 다름 아닌 [math(\rm C=0)]인 경우를 말한다. 그러면 방정식 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^4+\frac{l}{2}(x-a)^2=0)]을 얻을 수 있는데, 이는 [math((x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0)]으로 인수분해된다. 여기에서 [math(\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}=0)]은 [math(k>0, l>0)]이므로 그래프가 [math(x)]축보다 위에 있게 되어 실근을 갖지 않는다. 따라서 방정식 [math((x-a)^2\{\displaystyle\frac{k}{4}(x-a)^2+\frac{l}{2}\}=0)]의 근은 중근 [math(x=a)]뿐이다. === 1- === 1- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록하며 좌우 대칭([[우함수]])이다. 최고차항의 계수가 음수인 [[이차함수]]의 그래프와 전체적인 개형이 같다. 1- 개형 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x=a)]에 대하여 대칭이면, 단 하나의 극댓값 [math(f(a))]만을 갖고 극솟값은 갖지 않는다. 극댓값은 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 1- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점이 [math(x)]축 위에 있다.}}}|| 위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형과 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 1- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다. 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수1-.png]] 왼쪽 도함수는 방정식 [math(f'(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 도함수는 [math(x=a)]가 삼중근이 아닌 단일근이다. 이에 따라, 왼쪽 원시함수는 최솟값이 0인 경우에 한하여 방정식 [math(f(x)=0)]이 사중근 [math(x=a)]를 갖는 반면 오른쪽 원시함수는 [math(x=a)]가 사중근이 아닌 그냥 중근이다. 그 이유는 바로 위 1+ 개형에서 설명했으므로 생략. 1+ 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 논리는 다 같은 것이다. === 2+ === 2+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭([[우함수]])이다. 가운데에 극대점이 있으며 극대점의 좌하단과 우하단에 [math(y)]좌표가 서로 같은 극소점이 하나씩 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 2+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta)] ([math(\alpha, \beta, \gamma)]가 등차수열을 이룬다.)}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수2+.png]] 먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 [math(x)]축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 [math(x)]축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다. [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]와 같다고 할 수 있다. 그러면 2+ 개형이 완성된다. 그러려면 [[삼차함수]]의 성질에 따라 [math((\beta,0))]이 [math(f'(x))]의 그래프의 [[변곡점]]이어야 한다. 여기에서 [math(x)]축은 변곡점을 지나는 직선이므로, [math(\alpha, \beta, \gamma)]는 [[등차수열]]을 이룰 수밖에 없다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 2- === 2- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 좌우 대칭([[우함수]])이다. 가운데에 극소점이 있으며 극소점의 좌상단과 우상단에 [math(y)]좌표가 서로 같은 극대점이 하나씩 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 2- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}=\beta)] ([math(\alpha, \beta, \gamma)]가 등차수열을 이룬다.)}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수2-.png]] 먼저, 사차함수의 그래프가 극점을 세 개 가지려면 도함수 역시 [math(x)]축과 '''세 번''' 만나야 한다. 그러러면 삼차함수의 특성상 위 그림처럼 극대점과 극소점 사이로 [math(x)]축이 지나가는 모양새가 되어야 한다. 곧, 극댓값과 극솟값의 부호가 달라야 한다. [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]와 같다고 할 수 있다. 그러면 2- 개형이 완성된다. 그러러면 [[삼차함수]]의 성질에 따라 [math((\beta,0))]이 [math(f'(x))]의 그래프의 [[변곡점]]이어야 한다. 여기에서 [math(x)]축은 변곡점을 지나는 직선이므로, [math(\alpha, \beta, \gamma)]는 [[등차수열]]을 이룰 수밖에 없다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극대점의 [math(y)]값이 같다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 2-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 2- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 3+ === 3+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 [math(x)]좌표가 극소점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 크다. 오른쪽의 극솟값이 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 3+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x<0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수3+.png]] 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3+로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 3- === 3- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점이 극대점 두 개의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 작다. 오른쪽의 극댓값이 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 3- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수3-.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 3- 개형이 완성된다. 1번과 2번 조건만으로는 두 극소점의 [math(y)]값이 다르다는 보장이 없으며, 3번 조건이 사차함수의 그래프의 개형을 3-로 최종적으로 결정한다고 할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 3- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 4+ === 4+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 두 개와 극댓값 한 개를 갖는다. 극대점의 [math(x)]좌표가 극소점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극솟값이 오른쪽의 극솟값보다 작다. 왼쪽의 극솟값이 최솟값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 4+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}<\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수4+.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4+ 개형이 완성된다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 4- === 4- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 두 개와 극솟값 한 개를 갖는다. 극소점의 [math(x)]좌표가 극대점 두 개의 [math(x)]좌표의 사이에 위치하며, 왼쪽의 극댓값이 오른쪽의 극댓값보다 크다. 왼쪽의 극댓값이 최댓값이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 4- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''서로 다른 세 실근''' [math(\alpha, \beta, \gamma)]([math(\alpha<\beta<\gamma)])를 갖는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 각각 [math(a)], [math(b)]라고 하면 [math(f'(a)f'(b)<0)]이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다.}}} 3. {{{#red [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x-\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x>0)]}}} ⇔ {{{#red [math(\displaystyle\frac{\alpha+\gamma}{2}>\beta)]}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수4-.png]] [[미적분의 기본정리]]에 의하여 [math(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\beta)-f(\alpha), \displaystyle \int_{\beta}^{\gamma} \ f'(x) \,\mathrm{d}x=f(\gamma)-f(\beta))]이므로, 3번 조건이 만족된다면 [math(\alpha)]부터 [math(\beta)]까지 내려가는 정도 [math(|f(\alpha)-f(\beta)|)]가 [math(\beta)]부터 [math(\gamma)]까지 올라가는 정도 [math(|f(\beta)-f(\gamma)|)]보다 작다고 할 수 있다. 그러면 4- 개형이 완성된다. 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 4- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 5+ === 5+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 좌상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 5+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''중근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 단일근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수5+.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 5- === 5- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 좌하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 5- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''중근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 단일근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수5-.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 5- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 6+ === 6+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 극소점의 우상단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 6+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''단일근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 중근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수6+.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 6- === 6- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 극대점의 우하단에는 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 하나 있다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 6- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#red 방정식 [math(f'(x)=0)]이 '''단일근 [math(\boldsymbol {x=\alpha})]와 중근 [math(\boldsymbol {x=\beta})]'''([math(\alpha<\beta)])를 갖는다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:4차함수6-.png]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 6- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 7+ === 7+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5+ 개형과 비슷하지만 5+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 7+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극댓값이 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:커여운7+.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 7- === 7- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 5- 개형과 비슷하지만 5- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0인 점이 1개이다 || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 7- 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극솟값이 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여어운7-.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 7- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 8+ === 8+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 6+ 개형과 비슷하지만 6+ 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 8+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극솟값이 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운8+.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 1번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8+ 개형인 사차함수의 도함수는 1번 개형이다. === 8- === 8- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 6- 개형과 비슷하지만 6- 개형과는 달리 접선의 기울기가 0이지만 극점이 아닌 점이 없다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 8+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||1. {{{#red 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수의 극댓값이 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운8-.jpg|width=180]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 4번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 8- 개형인 사차함수의 도함수는 4번 개형이다. === 9+ === 9+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 9+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운9+.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9+ 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다. === 9- === 9- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 오른쪽보다 왼쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 9- 개형이 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운9-.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 9- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다. === 10+ === 10+ 개형은 좌상과 우상으로 한없이 뻗어나가면서 극솟값 하나만을 갖는데 이는 최솟값이다. 1+ 개형과 비슷하지만 1+ 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 올라가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 10+ 개형이 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''양수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 음수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운10+.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 2번 개형, 3번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10+ 개형인 사차함수의 도함수는 2번, 3번 개형이다. === 10- === 10- 개형은 좌하와 우하로 한없이 뻗어나가면서 극댓값 하나만을 갖는데 이는 최댓값이다. 1- 개형과 비슷하지만 1- 개형과는 달리 좌우 대칭이 아니며, 극소점을 중심으로 왼쪽보다 오른쪽이 처음부터 더 급하게 내려가는 모양새이다. || '''사차함수 [math(y=f(x))]의 그래프가 10- 개형이 되기 위한 조건''' || ||{{{#red 1. 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} ⇔ {{{#red [math(f'(x))]의 최고차항의 계수가 '''음수'''이다.}}} 2. {{{#green 도함수가 일대일대응이다.}}} ⇔ {{{#green 도함수의 역함수가 존재한다.}}} ⇔ {{{#green 실수 전체의 집합에서 도함수의 최솟값, 최댓값, 극값이 존재하지 않는다.}}} ⇔ {{{#red 방정식 [math(f''(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다.(이계도함수가 [math(\rm D\le 0)]이다.)}}} 3. {{{#green 도함수의 변곡점의 [math(y)]좌표가 양수이다.}}}|| 도함수의 그래프를 검토하여 조건이 위와 같아야 함을 밝혀보자. [[파일:귀여운10-.jpg|width=280]] 위 조건을 만족시키는 도함수는 5번 개형, 6번 개형이 된다. 다시 말해서 그래프가 10- 개형인 사차함수의 도함수는 5번, 6번 개형이다. === 특정한 식의 그래프의 개형 === ==== f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (a≠b≠c≠d) ==== [[파일:귀여운abcd.jpg|width=400]] 가장 기본이다. 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))], [math((c,0))], [math((d,0))]에서 [math(x)]축과 만나면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 서로 다른 네 실근 [math(x=a, x=b, x=c, x=d)]를 가지므로 함수식은 [math(y=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d))]이다. ==== f(x)=k(x-a)^^2^^(x-b)(x-c) (a<b<c) ==== [[파일:귀여운a제곱bc.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))], [math((c,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=a)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 중근 [math(x=a)]와 단일근 [math(x=b, x=c)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^2(x-b)(x-c))]이다. ==== f(x)=k(x-a)(x-b)^^2^^(x-c) (a<b<c) ==== [[파일:귀여운ab제곱c.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))], [math((c,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=b)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 중근 [math(x=b)]와 단일근 [math(x=a, x=c)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)(x-b)^2(x-c))]이다. ==== f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^^2^^ (a<b<c) ==== [[파일:귀여운abc제곱.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))], [math((c,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=c)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 중근 [math(x=c)]와 단일근 [math(x=a, x=b)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2)]이다. ==== f(x)=k(x-a)^2(x-b)^2 (a≠b) ==== [[파일:귀여운a제곱b제곱.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=c)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 중근 [math(x=c)]와 단일근 [math(x=a, x=b)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)^2)]이다. ==== f(x)=k(x-a)^3(x-b) (a<b) ==== [[파일:귀여운a세제곱b.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 둘 중에서 [math((a,0))]에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]와 단일근 [math(x=b)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^3(x-b))]이다. ==== f(x)=k(x-a)(x-b)^3 (a<b) ==== [[파일:귀여운ab세제곱.jpg|width=400]] 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))], [math((b,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 둘 중에서 [math((a,0))]에서만의 접선의 기울기가 0이 되면 [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]와 단일근 [math(x=b)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^3(x-b))]이다. ==== f(x)=k(x-a)^^4^^ ==== [[파일:귀여운a네제곱.jpg|width=400]] [[사차방정식]] [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=a)]를 가지려면 사차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,0))]에서만 [math(x)]축과 만나되 [math(x)]축에 접해야 하므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^4)]이다. ==== f(x)=ax^^4^^+bx^^2^^+c ==== [[파일:귀여운ax4bx2c.jpg|width=400]] [math(f(x)=ax^4+bx^2+c)]는 짝수 차수 항과 상수항만을 가지므로 [math(y)]축에 대하여 좌우 대칭('''[[우함수]]''')이다. == 심화 == === [[변곡점]] === 고등학교 수준에서 조악하게 설명하자면, 변곡점은 도함수의 증감 여부가 바뀌는 점이라고 할 수 있다. 좀 더 자세히 말하면 이계도함수의 함숫값이 0이 되면서 그 점과 충분히 가까운 좌우의 점의 [math(y)]좌표의 부호가 반대여야 한다. [[삼차함수]]에도 [[변곡점]]이 있지만, 개형에 관계없이 삼차함수의 정가운데에 변곡점이 한 개가 있으므로 간단하다. 사차함수는 변곡점의 개수와 위치를 볼 때 삼차함수에 비해 현저히 복잡하다. + 개형만을 설명하고 - 개형에 대한 설명은 생략한다. - 개형은 + 개형과 모양만 상하로 반대일 뿐이지 어차피 다 같은 것이다. ==== 1+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 1+ 개형의 사차함수의 도함수는 [[삼차함수#s-2.2|2번 개형]] 또는 [[삼차함수#s-2.3|3번 개형]]의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.''' [[파일:커여운1+변곡점.jpg|width=280]] ==== 2+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 2+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운2+변곡점.jpg|width=280]] ==== 3+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 3+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운3+변곡점.jpg|width=280]] ==== 4+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 4+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운4+변곡점.jpg|width=280]] ==== 5+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 5+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운5+변곡점.jpg|width=280]] ==== 6+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 6+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운6+변곡점.jpg|width=280]] ==== 7+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 7+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운7+변곡점.jpg|width=280]] ==== 8+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 8+ 개형의 사차함수의 도함수는 1번 개형의 삼차함수이다. 1번 개형의 삼차함수는 함수의 증감 여부가 두 번 바뀌므로 이 순간의 [math(x)]좌표는 그대로 사차함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 되며, 변곡점은 두 개이다. [[파일:귀여운8+변곡점.jpg|width=280]] ==== 9+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 9+ 개형의 사차함수의 도함수는 [[삼차함수#s-2.2|2번 개형]] 또는 [[삼차함수#s-2.3|3번 개형]]의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.''' [[파일:커여운9+변곡점.jpg|width=420]] ==== 10+ ==== 앞서 살펴 보았듯이 10+ 개형의 사차함수의 도함수는 [[삼차함수#s-2.2|2번 개형]] 또는 [[삼차함수#s-2.3|3번 개형]]의 삼차함수이다. 2번 개형과 3번 개형 모두 증감 여부가 바뀌지 않는 일대일대응이므로, '''변곡점이 존재하지 않는다.''' [[파일:귀여운10+변곡점.jpg|width=420]] === [[복소평면]]에서 === 복소평면에서는 [[사각형]]을 그린다. == 각종 공식 == 어떤 함수가 사차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 사차함수의 그래프의 거리, 사차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 [[다항함수/추론 및 공식]] 참고.