[[분류:대수학]][[분류:수학 용어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:대수학)] == 개요 == ||'''비에타 정리'''(Vieta's formula) 체 [math(F)] 위에서 차수 [math(n)]의 다항식 [math(\displaystyle f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_{1} x + a_0)] 의 근이 중복을 포함하여 [math(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)]으로 나타난다고 했을 때, 각각의 계수 [math(a_k)]는 다음의 식으로 나타낼 수 있다. ([math(0 \le k \le n)]) [math(\displaystyle (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k})] 위 식의 우변은 n개의 수 [math(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)] 중 서로 다른 [math(k)]개를 선택해서 더한 것으로, 보통 '''기본 대칭다항식'''(elementary symmetric polynomial)이라고 하고 [math(s_k(\alpha_1, \cdots, \alpha_n))]으로 표기한다. || 비에타 정리의 특별한 경우로 n차방정식의 모든 근의 합은 [math(-a_{n-1}/a_n)], 모든 근의 곱은 [math((-1)^n a_0/a_n)]이 된다. 정리의 증명은 방정식의 인수분해 형태 [math(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_n (x- \alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x - \alpha_n))] 에서 양변의 [math(x^{n-k})]의 계수를 비교하면 된다. 우변을 전개했을 때의 곱에서는 [math(x)]가 [math((n-k))]번 선택되어야 하므로 근 [math(\alpha_i)] 중에서 [math(k)]개가 선택되고, 이들 중 서로 다른 것을 선택해 곱하므로 대칭다항식이 등장하는 것. 부호 [math((-1)^k)] 부분은 [math((-\alpha_i))]들을 [math(k)]번 곱하게 되는 과정에서 등장한다. 어떻게 보면 이항정리의 증명과 상당히 유사한 점이 있다. ([math(\alpha_1 = \cdots = \alpha_n)]이면 실제로 이항정리가 되기는 한다.) 비에타 정리에서 등장하는 기본 대칭다항식은 [[대칭식|대칭다항식]] 연구에서 매우 중요한 역할을 하는데, 근들에 대한 모든 대칭다항식은 기본 대칭다항식에 대한 다항식으로 나타낼 수 있기 때문이다. 이차방정식의 경우 두 근 [math(\alpha, \beta)]에 대한 다항식 중 [math(\alpha \leftrightarrow \beta)] 치환에 대해 동일한 모든 다항식은 [math(\alpha+\beta, \alpha \beta)]의 다항식으로 나타낼 수 있다. 이 근과 계수들로 근 [math(\alpha_k)]의 [math(m)]제곱의 합을 구하는 뉴턴 항등식(Newton's identity) 등의 다양한 공식들도 존재하고, 한편으로는 갈루아 이론을 이러한 대칭다항식 관점에서 생각하는 방법도 있다. 비에타 정리는 이외에도 행렬의 특성다항식 등등 [math(n)]차방정식을 다루는 많은 상황에 쓰인다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=근과 계수의 관계, version=77)]