[include(틀:다른 뜻1, other1=이 문서에서는 집합을 분할하는 경우의 수 및 자연수를 분할하는 경우의 수를 다룹니다. 집합론에서 다루는 분할에 대한 내용, rd1=동치관계, paragraph1=4.1)] [include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == [[조합]]과 관련된 내용이다. '''분할'''에는 [[자연수]]의 분할과 [[집합]]의 분할이 있다. 한마디로 자연수와 집합을 [[조합]]을 이용해 나누는 방법. [[대한민국]]의 고등학교 수학 교과목에는 [[제7차 교육과정]]에서 [[이산수학]]에 있었다가 2007 개정 교육과정에서 아예 삭제되었고 2009 개정 교육과정에서 [[확률과 통계]]에 편입되었다. 2015 개정 교육과정(문·이과 통폐합 교육과정)에서부터 다시 삭제된다. == 종류 == === 자연수의 분할 === 자연수 [math(n)]을 [math(r)]개의 자연수의 합으로 나타내는 가짓수를 [math(p\left(n,\ r\right))]로 표기한다(단, [math(1 \le r \le n)]). 이때 순서는 생각하지 않는다. 예를 들어 [math(5)]를 [math(3)]개의 자연수로 나누면 [math(5=3+1+1=2+2+1)] 이므로 [math(p\left(5,\ 3\right)=2)] 이다. 모든 경우를 다 합친 것은 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n p\left(n,\ k \right) = p_n)]으로 표기하는데, 이를 [[분할수]]라고 부른다. 자연수의 분할에서는 다음 공식이 성립한다. [math(p\left(n,\ 2 \right) = \left[\dfrac n2 \right])], [math(p\left(n,\ 3 \right) = \left\{\dfrac{n^2}{12} \right\})] 단, 여기서 [math(\left[ x \right])]는 [math(x)]를 넘지 않는 [[최대 정수 함수|최대정수]]이고 [math(\left\{ x \right\})]는 [math(x)]를 [[반올림]][* 언뜻 반올림한 값이 참이라는 데에 의문이 들 수 있다.]한 것이다. ==== [[분할수]] ==== 자연수 [math(n)]을 분할하는 방법의 수를 분할수라고 한다. 따라서 분할수는 [math(p\left(n,\ k\right))]들의 합으로 나타내어진다. 자세한 설명은 항목 참고. ==== 켤레 분할 ==== [math((3,\ 2,\ 2))], [math((3,\ 3,\ 1))]과 같이 서로가 서로의 '[math(k)] 이상의 자연수 개수'를 나타내는 두 분할의 관계를 켤레 분할(conjugate partition) 또는 공액 분할이라고 한다. 즉 [math((3,\ 2,\ 2))]에서는 [math(1)] 이상인 자연수의 개수가 [math(3)], [math(2)] 이상인 자연수의 개수가 [math(3)], [math(3)] 이상인 자연수의 개수가 [math(1)]이므로 [math((3,\ 2,\ 2))]의 켤레 분할이 [math((3,\ 3,\ 1))]이 되고 같은 방법으로 따지면 그 반대 관계도 성립한다. 이는 파티션 개수대로 가로로 블록을 쌓고 세로로 블록 수를 세어서 새로운 파티션을 얻는 것과 같으므로, 켤레 분할은 일대일 대응이다. === 집합의 분할 ([[제2종 스털링 수]]) === '''제2종 스털링 수 (Stirling numbers of the second kind)''' 원소가 [math(n)]개인 집합을 [math(r)]개의 공집합이 아니면서 서로소인 부분집합들의 합집합으로 나타내는 가짓수를 [math(S\left(n,\ r\right))]로 표기한다.[* 집합론으로 정의하면 [math(1 \le r \le n)]이지만 대수적으로도 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 [math(r)], [math(n)]은 정수이기만 하면 된다. 물론 [math(n<r)]이면 [math(S \left( n,\ r \right) = 0)]이다.] 예를 들어 [math(\left\{1,\ 2,\ 3\right\})]을 [math(2)]개의 부분집합들로 나누면 [math(\left\{1,\ 2\right\}\cup\left\{3\right\}=\left\{1,\ 3\right\}\cup\left\{2\right\}=\left\{2,\ 3\right\}\cup\left\{1\right\})]이므로 [math(S\left(3,\ 2\right)=3)] 이다. 자세한 설명은 [[제2종 스털링 수]] 문서 참고. ==== [[벨 수]] ==== 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수를 벨 수라고 한다. 따라서 벨 수는 [math(S\left(n,\ k\right))]들의 합으로 나타내어진다. 자세한 설명은 [[벨 수]] 문서 참고. == 같이 보기 == * [[분할수]] * [[벨 수]] * [[제1종 스털링 수]] [include(틀:문서 가져옴,title=제2종 스털링 수,version=25)] [[분류:수학 용어]] [[분류:이산수학]]