[include(틀:상위 문서, top1=부분적분)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 예제 1 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\ln{x})]의 부정적분을 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 주어진 피적분함수를 [math(f(x))]로 놓고, 다음과 같이 설정하자.[* 이 방법은 [[역삼각함수]], [[특수함수]]에도 똑같이 써먹을 수 있다.] ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=\ln{x} \qquad \qquad g'(x)=1 )] || 따라서 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=x )] || 이상에서 부분적분 공식에 대입하면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,\mathrm{d}x &= x\ln{x}-\int \frac{1}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x \\ &=x\ln{x}-x+\mathsf{const.} \end{aligned} )] || 이때, [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. }}} == 예제 2 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(e^{x}\cos{x})]의 부정적분을 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 위에서 다뤘던 LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=e^{x} \qquad \qquad g'(x)=\cos{x} )] || 따라서 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f'(x)=e^{x} \qquad \qquad g(x)=\sin{x} )] || 이상에서 부분적분 공식에 대입하면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}-\int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] || 우리는 우변의 제 2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분 하면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x=-e^{x}\cos{x}+\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x )] || 이상에서 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}-\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\end{aligned} )] || 이고, 이것을 다시 쓰면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} 2\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}(\sin{x}+\cos{x})\end{aligned} )] || 이므로 우리는 부정적분으로 다음을 얻는다: ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+ \mathsf{const.} \end{aligned} )] || [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. '''[별해]''' 세로셈 방법을 사용한다. ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff> ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})] ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(\displaystyle \int \,\mathrm{d}x)] || || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(+)] || [math(\cos{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=)] || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(-)] || [math(-\sin{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle +e^{x}\cos{x})] || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(+)] || [math(-\cos{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle +e^{x}\sin{x})] || ||<-3> [math(\rightarrow)] || [math(\displaystyle -\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x)] || 이상에서 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=e^{x}(\sin{x}+\cos{x})-\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x )] || 양변을 이항하고, 정리하면, 다음을 얻는다: ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+\mathsf{const.} \end{aligned} )] || }}} == 예제 3 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\ln x \sin{x})]의 부정적분을 구하시오.[* '''특수함수가 등장하는 적분'''이다.] || {{{#!folding [풀이 보기] ----- [[LIATE 법칙]]을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=\ln x \qquad \qquad g'(x)=\sin{x} )] || 따라서 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=-\cos{x} )] || 이상에서 부분적분 공식에 대입하면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = -\ln{x}\cos{x} + \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] || 그런데 [math(\displaystyle \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x)]는 [[삼각 적분 함수|[math(\mathrm{Ci}(x))]]]로 쓸 수 있으므로 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) -\ln{x}\cos{x} + \mathsf{const.} \end{aligned} )] || [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. }}} == 예제 4 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2})]를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- [math(\lfloor x\rfloor)]는 불연속이므로 미분계수 쪽으로 옮기는 것이 좋으므로, [[스틸체스 적분]]의 부분적분식에 대입하여 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor)] || 의 꼴로 만들자. 이때, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor &= \sum \frac{1}{x^2} \\&= \zeta(2) \\&= \frac{\pi^2}{6} \end{aligned})] || 가 성립하므로 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \frac{\pi^2}{6}+ \mathsf{const.})] || [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이고, [math(\zeta)]는 [[제타 함수]]이다. }}} [각주][include(틀:문서 가져옴, title=부분적분, version=197)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]