[include(틀:이산수학·수리논리학)] 範疇論, 圏論[* 권(圈)론. 주로 일본에서 쓰이는 명칭이다.] Category Theory [목차] == 개요 == [[수학]] 전반에서 등장하는 각종 수학적 구조와 그들간의 관계를 메타 개념으로 생각하여, 그들을 범주(Category)라는 추상적인 개념으로 묶어서 다루는 이론. == 내용 == 수학을 공부하다 보면 배우는 분야마다 해당 분야에서 관심이 있는 '특정 구조를 가지는 집합'들과 '그 집합들 사이의 대응관계'라는 비슷한 구조가 나타난다는 것을 알 것이다. 예를 들면, [[군(대수학)|군]]과 군 사이의 [[준동형 사상]] 혹은 [[동형 사상]], [[벡터 공간]] 사이의 [[선형 변환]], [[위상 공간]] 사이의 [[연속함수]] 등이 그러하다. 이러한 각 수학 분야들에서 나타나는 공통된 구조를 다시 한번 추상화시켜서 다룰 수 있지 않을까 하는 데에 착안해서 범주(Category)라는 개념이 처음으로 등장하게 된다.[* 실제로 1940년대에 새뮤얼 에일린버그와 손더스 맥클래인이라는 두 학자가 [[대수적 위상수학]], 특히 호몰로지 이론을 연구하면서 이 개념을 떠올렸다고 한다.] 범주론에서 다루는 범주(Category)는 쉽게 말하면 아주 간단한 몇몇 조건을 만족하는 대상(Object)과 그 대상들 사이의 관계를 나타내는 사상(Morphism)의 모음인데, 이 대상과 사상은 그 조건만 만족하면 말 그대로 무엇이든 가능해서, 대상은 굳이 어떠한 집합일 필요가 없고 사상도 굳이 어떠한 함수일 필요도 없다. 물론 이렇게 정의된 범주들 사이의 대응관계도 생각해볼 수 있는데, 두 범주를 대응시키는 사상을 '함자(Functor)'라고 한다. 물론 이 범주들과 함자들을 또 하나의 범주로 보고(...) 범주의 범주를 정의할 수도 있다. 이렇듯 고도로 추상적인 분야이지만 기존 [[집합론]]이 한계를 보여줬던 많은 분야에서 범주론이 그 대안으로 인식되기 시작되면서 수학 전반에 걸쳐 사용되기 시작하고, 심지어는 [[컴퓨터 공학]]과 같은 응용 학문에서도 범주론을 끌어다 쓰기까지 한다. 대표적으로 [[하스켈]]이라는 프로그래밍 언어에서는 범주론에 등장하는 개념들이 아주 중요하게 사용된다. == 참고 서적 == 보통 이 분야의 창시자 중 한명인 Saunders Mac Lane이 집필한 《Categories for the working mathematician》이 스탠다드 교재로 평가받지만 제목에서 알 수 있듯이 업계 종사자(?)들을 주 타겟으로 쓰인 책이라 처음 카테고리 이론을 배우려는 학생들 눈높이와는 조금 괴리감이 있을 수 있다. 그 외에도 Lane의 제자인 Steve Awodey 의 《Category Theory》도 참고서로 종종 언급되는 편. 그리고 대학원 수준 대수학 교재에서는 한 소챕터나 부록 등에 간단한 카테고리 이론이 들어가 있는 경우도 많으니 참고하자. 예를 들면 대수학의 명저 중 하나인 Lang, Serge의 《Algebra》에서도 카테고리 이론 챕터가 나오는데, 정말 핵심적인 내용만 소개하고 넘어가지만 그것만으로도 평이 상당히 좋다(!). 다만 아예 이 쪽을 전공으로 하지 않는다면 굳이 카테고리 이론만 들입다 팔 필요는 없고, 다른 수학분야(주로 대수학)를 공부하면서 해당 개념이 등장할 때 관련 서적을 찾아서 개념을 보충하는 정도로 공부해서 이미지를 잡아가도 충분하다. 물론 [[대수기하학]]이나 [[호몰로지]] 대수와 같은 고도로 추상적인 분야를 공부하게 되면 반드시라고 해도 좋을 정도로 카테고리 이론의 철학이 끼어들어가니 공부하다 보면 언젠가는 부딛치게 되는 분야이다. == 관련 항목 == * [[함자]](Functor) * [[수반]](Adjunction) * [[자연 변환]](Natural Transformation) * [[모나드]](Monad) * [[쌍대성]](Duality) [[분류:수학]]