[include(틀:상위 문서, top1=방정식)] [include(틀:관련 문서, top1=미분방정식/풀이)] [include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == [[방정식]]의 풀이법에 대한 문서다. == 일원방정식 == === 일차방정식 === [math( ax + b = 0 )] 의 꼴로 정리한 뒤 [math(\displaystyle x = -{b \over a} )] 로 나타낼 수 있다. 일차방정식의 정의에 의해 [math( a \neq 0 )] 이기 때문이다.[* 다른 방정식도 마찬가지로 최고차항의 계수(대체로 a로 나타낸다.)는 0이 아니라는 조건이 반드시 있어야 한다. n차 방정식에서 a가 0이 되면 n차 방정식라는 전제(postulation)에 모순된다.] 하지만 보이기에만 일차방정식일 뿐 [math( a=0 )] 인 경우도 존재한다. 이럴 때는 [math( a )] 로 (0으로) 나눌 수 없으므로 다음과 같이 [math( b \neq 0 )] 인 경우와 [math( b=0 )] 인 경우로 나누어 생각한다. * [math( a=0 )], [math( b \neq 0 )] 인 경우: 이를테면 [math( 0 x = 2 )] 의 꼴이므로 [math( x )] 에 어떤 값을 대입해도 성립하지 않는다. 따라서 해는 없고, 이를 간단히 '''[[불능|불능(不能)]]'''이라고 한다. * [math( a=0 )], [math( b=0 )] 인 경우: [math( 0 x = 0 )] 의 꼴이므로 [math( x )] 에 어떤 값을 대입해도 항상 성립한다. 따라서 가능한 [math( x )] 는 수 전체이고, 이를 간단히 '''[[부정#s-3|부정(不定)]]'''(정해지지 않음)이라고 한다.[* 이거 말고도 부정이 나오는 방정식은 꽤 있다. 대표적으로 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\gamma\right) - x = 0)]([[오일러-마스케로니 상수]]의 유리수/무리수 여부가 밝혀지지 않음), [math(\displaystyle \int x^x \,{\rm d}x)]([math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} f\left(x\right) = x^x)] 꼴의 함수가 정의되지 않음) 등.] 참고로 [math( a \neq 0 )], [math( b=0 )] 인 경우 이를테면 [math( 2 x = 0 )] 의 해는 [math( x=0 )], 단 하나 존재한다. 따라서 [math( a \neq 0 )] 일 때는 [math( b \neq 0 )] 이든 [math( b=0 )] 이든 관계없이 [math(\displaystyle x = -{b \over a} )] 이다. 한편, 이 일차방정식의 내용을 심화시켜 배우는 것이 '''[[선형대수학]]'''이다. ==== 절댓값을 포함한 일차방정식 ==== 일차방정식이 [[절댓값]] 기호를 포함하는 경우도 있다.[* 다만 식을 풀기에 앞서 미지수의 [[군(대수학)|군]]을 확인해야 한다. 왜냐하면 미지수의 범위가 [[실수(수학)|실수]]인지, [[복소수]]인지([math(|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2})]), [[벡터]]인지([math(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}})]), [[행렬]]인지([math(\left|(a_{ij})_{n\times n}\right|={\displaystyle \sum_{\sigma\in S_{n}}}\text{sgn}\left(\sigma\right){\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}a_{i\sigma\left(i\right)})]) 등에 따라 절댓값의 정의가 달라지기 때문이다.] 절댓값 기호를 포함한 방정식은 [math(\left|A\right|=\begin{cases}A & \phantom{\cdots}A\ge0\\-A & \phantom{\cdots}A<0\end{cases})]을 이용하여 절댓값 기호를 없애는 것이 문제 해결의 핵심이다. 일반적으로 절댓값 기호를 포함한 방정식은 다음과 같은 순서로 푼다. * 절댓값 기호 안의 식의 값이 [math(0)]이 되는 [math( x )] 의 값을 경계로 하여 [math( x )] 의 값의 범위를 나눈다. * 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 식을 정리하여 [math( x )] 의 값을 구한다. * 위에서 구한 [math( x )] 의 값 중 해당 범위에 속하는 것만 주어진 방정식의 해이다. === 이차방정식 === 이차방정식의 일반식을 이항해서 정리하는 방법으로 도출한다. 좌변에 미지수와 상수항을 내림차순으로 정리하고, 우변을 [math(0)]으로 놓아 [math( ax^2 + bx + c = 0 )] 으로 정리한다. 이때, [math( a\ne 0)]이다. 이는 당연히 이차항이 사라지면 이차방정식의 의미가 사라지기 때문이다. 여기서부터 [[복소수]]가 나올 수 있는데, 복소수를 허용한다는 조항이 없다면 [math( \Im(x) =0 \Leftrightarrow x^2 \geq 0 )] 이라는 조건이 붙는다. * '''정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서''' 인수분해되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) = 0 )] 의 형태로 정리한다. 이때의 근은 [math(\alpha)] 혹은 [math( \beta)]. 즉 근이 2개 존재할 수 있게 되는 것. [math(\alpha )] 혹은 [math(\beta )]가 근인 이유는 실수가 체를 이루고 0이 덧셈에 대한 항등원이기 때문에 [math( AB=0 \Leftrightarrow A=0 \lor B=0)]이기 때문이다. * '''정수 또는 간단한 유리수 범위 안에서''' 인수분해되지 않는 꼴도 있다. 그럴 경우 근의 공식 [anchor(근의 공식)][math(\displaystyle x = {-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac} \over 2a} )] 에 대입시키면 된다. (사실 "인수분해가 되지 않는 꼴"은 없다. 근의 공식 자체가 정형화된 알고리즘을 통해 '''인수분해'''를 하는 것이기 때문. 진짜로 이차방정식이 인수분해가 되지 않는다면 근이 없어야 한다.) 즉 근이 2개. 근의 공식은 다음과 같이 유도한다. ||[math( ax^{2} + bx + c = 0 )] 상수항을 우변으로 이항하고, 양변을 [math(a)]로 나눈다. [math( x^{2} + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a} )] 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 양변에 [math(\left ( \dfrac{b}{2a} \right )^{2})]를 더한다. [math(\displaystyle x^{2} + \frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} = -\frac{c}{a} + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} )] 좌변을 완전제곱식으로 만들고, 우변을 정리한다. [math(\displaystyle \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} )] 제곱근을 구한다. [math(\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )] 마지막으로 좌변의 [math(\dfrac{b}{2a})]를 우변으로 이항하면 근의 공식이 나온다. [math(\displaystyle \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} )]|| * [math(b)]가 짝수인 경우 [math(b=2b')]로 치환해서 약분하면 [math(\displaystyle x = {- b' \pm \sqrt{{b'}^{2} -ac} \over a} )] 가 나온다. 이것을 짝수 근의 공식[* 더 줄여서 짝수 공식이라고 하기도 한다. 당연히 홀수에서는 쓰기 불편하다.]이라고 한다. 한마디로 근의 공식 어레인지 버전. * 여기서 '''​b​^^2^^ ​​−4ac​​​​​'''를 '''D'''라고 정하고 '''근의 판별식'''이라 하는 데 여기서 '''D > 0'''이면 '''서로 다른 두 실근'''을 가지고 '''D = 0''' 이면 '''한 근(중근)'''만 가진다. 그리고 '''D < 0'''이면 '''서로 다른 두 허근'''[* 중학교에서는 실수 범위까지만 가르치기 때문에 '''근이 없다'''로 가르친다. 참고로 계수가 실수인 이차방정식이 허근을 가지는 경우는 서로 다른 두 허근을 가지는 경우밖에 없다. 허수인 중근을 가지거나 실근 하나에 허근 하나를 가지는 경우는 없다.]을 가진다. 즉 두 근의 값이 복소수라는 이야기다. 이차함수나 이차부등식을 배울 때도 아주 잘 쓰이는 것이니 잘 익혀두자. 참고로 판별식은 계수가 실수일 때만 사용할 수 있다. 계수가 허수인 경우에는[* 계수가 실수인 이차방정식으로 만들 수 없는 경우에만 해당된다.] D = 0일때는 허근인 중근, 0이 아닐 때는 서로 다른 두 근을 가지며, 적어도 하나의 허근을 가진다. * 짝수 근의 공식이 존재하는 것처럼 짝수 판별식 D' = D/4 = '''​b​'^^2^^ ​​−ac​​​​​''' 도 존재한다.[* 여담으로, 0의 제곱근은 0 하나 뿐인 것이 아니고 [math(x^2=0)] 방정식의 근이기 때문에 0이라는 근이 두 개, 즉 중근을 가진다. ] * ax^^2^^ + bx + c = 0에서 a와 c의 부호가 서로 다르면 '''반드시 서로 다른 두 실근을 가진다.''' b​^^2^^ ​​−4ac에서 a와 c를 곱하면 음수가 되므로 -4와 곱해서 양수가 되기 때문이다. 물론 b는 실수여야 한다. * 추가로 거의 쓰지 않지만 방정식을 [math(t^2=n)]꼴로 변형한 후 양변에 루트를 씌워주면 [math(t=\pm\sqrt{n})]이 되고 이렇게 나온 일차방정식을 두번 풀어 근을 구할 수 도 있다. === 삼차방정식 === [math( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 )] 로 정리한 뒤 여러 가지 방법을 이용한다. * 인수분해가 되는 꼴일 경우 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x - \beta\right) \left(x - \gamma\right) = 0 )] 혹은 [math( a \left(x - \alpha\right) \left(x^2 + \beta x + \gamma\right) = 0 )] 으로 정리한 뒤 근을 구한다. 이차방정식과 방법이 같다. * 그 외의 경우 삼차방정식의 근의 공식을 이용한다. 이 공식은 S. 페로와 [[니콜로 폰타나]]가 발견했으나, [[지롤라모 카르다노|카르다노]]의 이름을 따와 카르다노의 공식이라고 불린다. 이에 대해서는 [[니콜로 폰타나]], [[지롤라모 카르다노]] 항목 참조. >[math(\displaystyle-\frac{b}{3a}+\sqrt[3]{{-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{k}+\sqrt[3]{{-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}}\omega^{2k})] >([math(\displaystyle p:=\frac{c}{3a}-\frac{b^{2}}{9a^{2}})], [math(\displaystyle q:=\frac{d}{2a}+\frac{b^3}{27a^3}-\frac{cb}{6a^2})], [math(\omega)]는 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|[math(x^3=1)]의 원시근]]([math(\omega^2+\omega+1=0)][* 실제값 [math(\displaystyle {-1 \pm \sqrt{3} i \over 2})]])이다.) >---- >정수 [math(k)]의 값에 따라 세 가지 값이 나오는데, 각각이 세 근이다. 다항식 챕터에서 인수분해 풀기 싫어서 공식 외우려는 [[고등학생]]은 그냥 인수분해 하는 걸 추천한다. 수학과 교수도 (유도과정만 알면 충분히 구하므로) 안 외우는 식이다. 일부 [[용자]]들은 이거 외워서 3차 방정식을 풀기도 한다. 4차 방정식도 외우는 용자도 있다. 물론 세제곱근을 암산해야 한다는 게 함정(...) 게다가 식에 [math(\sqrt[3]{\phantom{\cdots}})]이 있기 때문에 종이랑 연필만으로는 답이 안 나오는 경우가 허다하다. [[공학용 계산기]]쯤은 동원해야 되는데 [[공학용 계산기]]엔 이미 다항식 풀이 기능이 있다. 다만, [[Wolfram Alpha]] 사용자가 카르다노의 해법을 이용한 값을 입력하면 원래 근의 수치해와는 다른 값이 나오므로 주의해야 한다. Wolfram Alpha는 아래 주석에서처럼 카르다노의 치환 대신 비에트[* 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)]의 치환을 이용하여 구하기 때문이다. 유도 과정은 [math(x=y-\frac{b}{3a})]로 치환해 [math(x^2)] 의 계수를 없앤 뒤, [math(a'y^3+c'y+d'=0)]로 정리하고, 여기에서 [math(y=u+v)]로 다시 치환해서 정리하면 [math(\left(3a'uv+c'\right)\left(u+v\right)+a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]임을 이용, [math(3a'uv+c'=0)] 과 [math(a'\left(u^3+v^3\right)+d'=0)]의 [[연립방정식]]을 통해 [math(u^3)], [math(v^3)] 값을 찾아서 그걸로 [math(y)]값을 구하고 다시 [math(x)]값을 계산한다. 단, 이차항이 없는 방정식 같은 경우 이차항 없애는 과정 없이 바로 [math(y=u+v)]로 치환하는 과정부터 시작하면 된다.[* 비에트는 카르다노와 달리, [math(y = w - \frac{c^{\prime}}{3w})]로 치환했으며, 이 경우 정리하면 [math(w^3)]에 대한 이차방정식이 만들어진다. 이 이차방정식의 해를 하나 택한 후, 이 값에 세제곱근을 취한 [math(w)]의 값을 이용하여 [math(y)], [math(x)]의 값을 차례로 구한다. [[Wolfram Alpha]]는 이 방법을 이용하여 일반적인 삼차방정식을 구한다.] * [[https://blog.naver.com/ghangth/221223901706|삼차방정식의 근의 공식 유도 과정]] * [[조제프루이 라그랑주]]의 [[https://blog.naver.com/ghangth/221224206895|방법]] 판별식을 분석하거나 y = 삼차식의 그래프를 그려봤을 때 분명 구한 세 근은 모두 실근인데, [[카르다노]]의 해법으로 풀었을 때 두 켤레복소수의 세제곱근의 합으로 이루어져 있는 경우도 많다. 이런 경우를 환원 불능(casus irreducibilis)이라고 하며, 허수단위 [math(i)]를 없앤 상태로 표기할 수 없다.[* 물론 복소수의 절대값을 구한 후 절대값에 cosx+isinx를 곱한 형태로 나타낸 후 그것의 세제곱근은 절대값의 세제곱근에 cos(x/3)+isin(x/3)을 곱한 값으로 쓸 수 있다.~~다항식을 풀기위해 삼각함수를 이용할 수 있는 것이다~~하지만 이 경우 세 근은 모두 실근이라는 것이 확실하다.근데 이걸 삼각함수 정리를 이용해 풀려고 하면 또 다시 쳇바퀴에 빠지게 된다.] 이 경우, 실수(real number)로만 표기하려면 [[뉴턴-랩슨 방법]]등을 사용하여 근사값을 구하는 방법 밖에는 없다. * 만약 [[디오판토스 방정식|해가 정수/유리수라는 조건]][* 고등학교에서는 3차, 4차 방정식의 모든 항의 계수가 유리수라서 삼차는 적어도 하나의 유리근, 사차는 적어도 두 개의 실근이 나온다. ]이 걸려 있다면, [[타원곡선]]을 이용하는 것이 빠르다. [[https://www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4/answer/Alon-Amit|풀이]] === 사차방정식 === * 인수분해가 되는 사차방정식의 경우는 인수분해를 해서 이, 삼차방정식과 같이 구한다. * 상반방정식 혹은 대칭방정식이라 불리는 방정식의 경우 [math(ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0)]은 [math(cx^2)] 를 기준으로 거울처럼 나뉘는데, >1. [math(a \ne 0)]이고 [math(x \ne 0)]이므로 양변을 [math(ax^2)]로 나누면 [math(x^2 + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {c \over a} + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {1 \over x^2} = 0)]가 된다. >2. [math(x^2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} x + \displaystyle {b \over ax} + \displaystyle {c \over a} = 0)]으로 묶어낸다. >3. 여기서 양변에 2를 더해준 뒤 계수가 [math(\displaystyle {b \over a})]인 항끼리 묶어낸다. 이러면 식은 [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2} + \displaystyle {b \over a} \left({x + {1 \over x}} \right) + {c \over a} - 2 = 0)]이 된다. >4. 그리고, [math(x^2 + 2 + \displaystyle {1 \over x^2})]는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2)]로 묶어내지게 된다. 최종적으로는 [math(\left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right)^2 + \displaystyle {b \over a} \left({x + \displaystyle {1 \over x}} \right) + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이 되는데, >5. 이제 치환을 하여 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]로 놓으면, 이것은 [math(y)]에 관한 2차방정식이 되므로 [math(y^2 + \displaystyle {b \over a} y + \displaystyle {c \over a} - 2 = 0)]이라는 식을 얻는다. >6. 마지막으로 두 근을 [math(y)], [math(y')]라고 하면 각각 [math(y = x + \displaystyle {1 \over x})]와 [math(y' = x + \displaystyle {1 \over x})]에 대입하여 [math(x)]의 값 4개를 처음 4차방정식의 근으로 정한다. * [math(ax^4 + bx^2 + c = 0)]과 같은 복이차식의 경우, 1. [math(x^2)] 를 [math(X)]로 치환하여 [math(aX^2 + bX + c)]에 대한 방정식을 풀어내어 두 근 [math(X_1)], [math(X_2)]를 얻어낸다. 1. 그리고 [math(X_1=x^2)], [math(X_2=x^2)]를 또 한번 풀어내어 4개의 근을 구하면 된다. * 공식을 이용한다. 이 공식 역시 유도 과정이 매우 어렵다.[* 단, 공식 그 자체를 외우지 말자. 아래 링크에서 보다시피, 외울 수 없는 분량이다. 필산으로 풀 때는 공식이 아닌 유도 과정을 외워서 풀자.] 증명자는 [[루도비코 페라리]]. 위에서 말한 카르다노의 제자다. [[http://blog.daum.net/hj4145/54|사차방정식의 근의 공식 유도 과정]] 보다시피 사차방정식을 풀 때 삼차방정식도 함께 풀어야 한다. 그런데, 이 공식을 이용하면 유리수/실수 범위에서 이차식 둘로만 인수분해가 되어 조립제법을 쓸 수 없는 사차식을 인수분해할 수 있다. 좌변을 [math((x^2+(b/2a)x+z/2)^2)]로 쓰고 우변이 완전제곱식이 되는 z값을 찾는게 핵심. === 오차 이상의 방정식 === '''결론부터 말하면 오차 이상의 방정식의 근의 공식은 __없다.__''' 그러나, 대수적인 해가 없는 것 뿐이지 [[타원곡선]], [[브링 근호]],[[초기하함수]] 등을 이용하면 일반적인 해를 구할 수 있다. [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5%2Bx%2Ba%3D0|초기하함수로 나타낸 방정식 [math(x^5+x+a=0)]의 일반해]][* Solutions for the variable x: 를 보면 다섯 개의 일반해가 적혀 있다.] * 수학자 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]이, [math(n\ge5)]일 때, [math(n)]차방정식은 주어진 식에서(유리수든 실수든 복소수든 관계없다.) '''유한 번'''의 제곱근 처리 및 사칙연산으로 답을 구할 수 있는 일반화된 해법이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다. [[https://blog.naver.com/ghangth/221226573898|여기]]에 자세히 설명되어있다. * 수학자인 [[에바리스트 갈루아|갈루아]]는 '오차 이상의 대수방정식이 해법이 구해질 수 있는 조건'에 대해 논문을 썼다. 뭔가를 밝혀냈다는 말 없이 논문[* 다만 [[EBS]]다큐프라임 중 '자유의 수 x'에서 그 논문은 분실했다고 언급된다.]을 썼다는 것 하나로 서술이 끝났다는 것에서 감이 잡힐 듯 싶다. * [[브링 근호]]([[http://en.wikipedia.org/wiki/Bring_radical|Bring radical]])를 사용하면 임의의 5차방정식의 해를 나타낼 수 있다. 방정식 [math(x^5+x+a=0)]는 오직 하나의 실근을 가지는데, 이 근을 [math(\mathrm{BR}(a))] 또는 [math(\mathrm{ultraradical}(a))][* 숫자 5를 닮은 모양의 [[https://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Ultraradical_1000.gif|특수한 근호]]를 쓰기도 한다.]로 정의하고 이것을 이용해 오차방정식의 해를 나타낸다. 모든 오차방정식은 치환을 통해 [math(x^5+x+a=0)]의 꼴로 축약할 수 있다. 브링 근호는 [[타원곡선]], [[초기하함수]] 등을 이용하여 나타낼 수 있다. * 다만, 일반화된 해법이 없을 뿐이지, 모든 오차이상의 방정식을 사칙연산과 (거듭)제곱근을 유한번 이용해서 풀 수 없는 것은 아니다. 모든 Root of Unity[* 단위근, [math(x^n - 1 = 0)]([math(n)]은 자연수)의 모든 해]는 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 답을 낼 수 있으며,[* 방데르몽드가 [math(x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 0)]의 해인 [math(\displaystyle 2\cos\frac{2k\pi}{11} \, (k = 1, 2, ..., 5))]를 사칙연산과 제곱근 처리 몇 번으로 해결한 적이 있으며, 가우스가 정17각형 작도 가능을 증명하면서 [math(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{17})]의 값을 [[카를 프리드리히 가우스]] 문서에 있는 식처럼 나타낸 것도 유명하다.] [math(x^5 - 5x + 12 = 0)]나 [math(x^6 + x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0)] 등 특수한 5차 이상의 방정식이 사칙연산과 유한 번 제곱근 처리로 계산이 가능하다는 것을 보여주는 [[https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.ams.org/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079014-X/S0025-5718-1991-1079014-X.pdf&ved=2ahUKEwj57a2U1djiAhULv7wKHQnuDKoQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw2vhQH-GivwAsFRiUmHbcPc|Dummit]]이나 [[https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002186930098428X&ved=2ahUKEwjlhZic1tjiAhWEKqYKHT5sCosQFjAHegQIARAB&usg=AOvVaw0wYwC8Ge2am_0d25PVVoDf|Hagedorn]] 등 수학자들의 연구 또한 존재한다. === 분수방정식과 무리방정식 === 좀 특수한 방정식이지만 2007 개정 교육과정까지 수학2에 들어있던 거라 같이 붙인다. 그런데 2009 개정 교육과정부터는 삭제했다. 2015 개정 교육과정에서는 [[심화 수학Ⅰ]]에만 들어간다. * 분수방정식 [math(a/(bx^3+cx^2+dx+e)=1)]은[* 단, [math(a, b, c, d, e)]는 유리수이며, [math(a)]와 [math(b)]는 0이 될 수 없다.] 뒤에 있는 다항식을 상수 [math(a)]를 이항시켜서 [math(bx^3+cx^2+dx+f=0)] 꼴로 만들어 준 후 다항함수의 꼴로 만들어서 근을 구하면 된다.[* 주의할 점은, 분모는 0이나 허수가 될 수 없으므로 허근이 나올 경우 해당 근들은 배제하여야 한다. 허수의 경우에는 상황에 따라 가능한 경우도 있으니 유의하자.] * 분수방정식은 분모의 최소공배수를 곱하여 다항방정식으로 고친다. * 무리방정식은 양변을 제곱하여 다항방정식으로 고친다.[* 이름대로 일부 항의 계수가 무리수이기 때문에 허근에만 켤레근 적용이 가능하다.] * 그 이후로는 다항방정식의 풀이방법과 동일하다. * 주의! 이들 방정식은 [[무연근]]이라는 게 있다. 분수방정식은 분모를 0이 되게하는 해가, 무리방정식은 해를 대입한 결과 양변의 값이 일치하지 않으면 무연근이다. 유리함수에서 2개의 점근선 중 x축 쪽에 있는 것이 무연근이다. === 상반방정식 === 특정항을 기준으로 계수만 뽑았을 때 [[대칭수]]가 되는 방정식이다. 이 경우 [[치환#s-2]]을 이용해서 식을 간단하게 만든 뒤 푸는 방법을 사용한다. == [[부정방정식]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=부정방정식)] === [[디오판토스 방정식]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=디오판토스 방정식)] == [[연립방정식]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=연립방정식, 문단=2)] == [[미분방정식]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=미분방정식/풀이)] == 일반적인 방정식의 해법 == * 일단 기본적으로는, 치환을 한 다음 [[인수분해]]를 해서 주어진 방정식을 1차 방정식들의 곱으로 만든 다음, 그 1차 방정식들에 대해 [math(ab=0)] 이면 [math(a=0)] 또는 [math(b=0)]이란 사실을 이용하여 치환된 방정식의 해를 구하고 대입법과 치환된 방정식의 해를 이용해 원래 방정식의 해를 구하면 된다. * [[함수]]를 이용하는 방법도 있다. 자세한 내용은 [[다항함수/추론 및 공식]] 문서 참조. * [[수치해석]]학적 [[알고리즘]]를 이용해 근사값을 구할 수도 있다. 보통 [[급수(수학)#s-3|무한급수]]의 꼴이나 [[점화식]]으로 나타내어지는데, 원하는 오차가 아무리 작더라도 그 오차 이내의 근사값을 충분히 구할 수 있다. [[뉴턴-랩슨 방법]], 보간법 등을 쓰는데, 이 기법들을 이용하면 [[연속함수]]로 이루어진 방정식의 대부분의 해의 근사값을 구할 수 있다. == 방정식의 활용 == === 한 근이 주어졌을 때 미지수 구하기 === 방정식에서 근이 주어졌을 경우 주어진 근을 대입하여 미지수에 대한 새로운 방정식을 세우고 그것을 풀기만 하면 된다. 단, 이차 이상의 방정식의 경우 최고차항의 계수가 0이 되도록 하는 미지수를 제거해야 한다. === 치환을 통한 방정식의 풀이 === 이차 이상의 방정식만 해당. 공통부분을 치환하여 푼다. 이때 (치환한 부분)=(치환한 미지수의 값)을 한 번 더 풀어야 하는 경우가 있으니 주의하자. === 활용문제 === ==== 일차방정식 ==== 도형, 농도, 증가/감소, 원가/정가 등 여러가지 문제가 많이 나온다. 일차방정식은 실생활에서도 매우 많이 사용하는 영역이기 때문이다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 세우는 과정이 쉽지 않다. 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다. ==== 이차방정식 ==== 도형이 주를 이루며, 농도, 증가/감소, 원가/정가는 잘 등장하지 않고 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제되는 편이다. 실생활에서는 이차방정식을 그리 많이 사용하지 않기 때문이다. 풀이 자체는 조금 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. ==== 삼차방정식 ==== 거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 삼차 이상의 방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제된다. ==== 사차방정식 ==== 삼차방정식과 마찬가지로 거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. ==== 연립방정식 ==== 초중등 교육과정 내에서는 실용적인 문제라고 해봐야 동물 다리 세기 정도밖에 없지만, 실제 현장으로 가면 모르면 아무것도 못한다고 봐도 과언이 아니다. 선형대수가 온갖 수학/물리학 과목에 끼어 있다 보니 전공으로 가면 내적, 외적, 대각화 등 기초적인 풀이법 정도는 숙지하고 있어야 한다. ===== 연립일차방정식 ===== 원가/정가, 증가/감소, 농도 등 여러 가지 유형이 등장하며 도형은 그리 자주 등장하지 않는다. 풀이 자체는 간단하지만 식을 세우는 과정이 어렵다. 이로 인해 많은 학생들이 힘들어하는 부분이기도 하다.[* 아무래도 미지수가 2개고 식도 2개이기 때문에 일차방정식의 활용보다 더 어려운 듯 싶다.] ===== 연립이차방정식 ===== 거의 도형이다. 풀이 자체는 복잡하지만 식을 세우는 과정은 어렵지 않다. 참고로 이차 이상의 연립방정식부터는 활용문제가 잘 등장하지는 않으며 시험에는 출제되더라도 쉽게 출제된다. ==== 부정방정식 ==== 부정방정식이 쓰이는 대표적인 분야로 [[암호학]]이 있다. 무지막지하게 큰 수를 다루는데, 여기에 부정방정식 관련 이론을 써먹는 식이다. ==== 미분방정식 ==== [[아이작 뉴턴]]이 [[고전역학]]을 수식으로 정립했기 때문에, 미분방정식을 모르면 아예 [[역학]] 자체에 발을 들여놓기 어렵다. [[분류:대수학]][[분류:방정식]] [각주][include(틀:문서 가져옴, title=방정식, version=508, title2=미분방정식, version2=377)]