[목차] == 개요 == 무차원량(無次元量; dimensionless quantity)은 측정학(metrology)에서 쓰이는 용어로, 차원 분석 시 모든 [[차원#측정학]]의 지수가 [math(0)]이 되는 물리량을 가리킨다. 수학적으로 이는 곱셈·나눗셈의 항등원이므로 차원 기호는 [math(\sf 1)]로 나타낸다. 물리량은 수와 [[단위]]의 곱으로 이루어져있으므로 단위가 없는 수학 상수들은 [math(1)]이라는 단위가 곱해진 물리량으로 간주할 수 있어 무차원량이며, 단위는 미지수의 계수 [math(1)]을 생략해서 나타내듯이 [math(1)]이 생략된 물리량으로 간주할 수 있으므로 차원이 없는 단위 역시 무차원량이다. == 상세 == 어떤 물리량 [math(Q)]의 차원 [math(\dim Q)]는 7가지의 기본 차원(base dimension), 즉 길이([math(\sf L)]), 질량([math(\sf M)]), 시간([math(\sf T)]), 전류([math(\sf I)]), 온도([math(\sf\Theta)]), 물질량([math(\sf N)]), 광도([math(\sf J)])를 각각 밑으로 하는 지수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dim Q = {\sf L}^\alpha{\sf M}^\beta{\sf T}^\gamma{\sf I}^\delta{\sf\Theta}^\epsilon{\sf N}^\zeta{\sf J}^\eta)] || [math(Q)]가 2가지 이상의 물리량의 곱셈·나눗셈으로 이루어져 있을 경우 그 차원 역시 똑같은 연산의 영향을 받으므로 [math(\dim Q)]의 식에서 각 차원의 차수가 어떻게 되는지를 수학적으로 계산할 수 있다. 이를 차원 분석(dimensional analysis) 또는 차원 해석이라고 하는데 계산 결과 모든 차원의 지수가 [math(0)]이면 [math(Q)]는 '무차원량'이라고 한다. 단, 이들 기본 차원으로 나타낼 수 없거나 차원 분석이 불가능한 단위들(특히 [[셈 측도]]에 해당하는 것들[* [[몰(단위)|몰]] 제외. 몰은 셈 측도이지만 차원이 [math(\sf N)]이다.])은 통상적으로 무차원량으로 약속한다. == 예시 == === 수학 상수 === [[1|[math(1)]]], [[원주율|원주율 [math(\pi)]]], [[자연로그의 밑|자연로그의 밑 [math(e)]]]을 포함한 모든 수학 상수는 무차원량이다. 심지어 [[허수|허수 단위 [math(i)]]]를 포함한 사원수의 다른 허수 단위 [math(j)], [math(k)]도 무차원량이며 이를 확장한 체계의 다른 단위들 역시 무차원량이다. === 로가리듬 === 로가리듬은 지수의 역함수, 즉 지수함수의 지수에 해당하기 때문에 항상 무차원량이다. 따라서 이들 수식을 바탕으로한 단위 역시 모두 무차원량이다. 거꾸로 지수의 결과값 역시 무차원량이기 때문에 각 로가리듬의 정의역에는 무차원량이 대입되어야 한다. * [[네퍼]] [math(\rm Np)] - 분율에 [[자연로그]]를 취한 것의 단위. * [[데시벨]] [math(\rm dB)] - 분율에 [[상용로그]]를 취한 것의 단위. 벨([math(\rm B)])의 [math(1/10)]. * [[pH|[math(\rm pH)]]] - [[수소 이온]]의 활동도의 역수에 상용로그를 취한 것. 이 밖에도 [math(\rm pOH)], 산이온화상수 [math({\rm p}K_a)], 염기이온화상수 [math({\rm p}K_b)], 등전점 [math(\rm pI)] 등 로가리듬을 이용한 모든 물리량 포함. === 계수량(counting quantity) === * [[셈 측도|개수를 세는 데에 관련된 단위]]들은 모두 무차원량이다. 자세한 것은 [[셈 측도]] 참조. * 분자생물학에서 핵산의 염기 개수를 나타내는 베이스([math(\rm b)]) 혹은 염기쌍의 개수를 나타내는 베이스페어([math(\rm bp)]). * 양자역학에서의 축퇴(degeneracy). === [[분율]] === [include(틀:문서 가져옴, this=3.3, title=셈 측도, version=52, paragraph=3.3.1)] [include(틀:상세 내용, 문서명=분율)] 단위가 같은 두 물리량의 [[율]]이기 때문에 분율에 속하는 모든 물리량은 무차원량이다. * [[퍼센트|%]] - 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율. * [[퍼밀|‰]] - 전체를 [math(1000)]으로 놓았을 때의 비율. * [[Parts-per 표기|ppm, ppb, ppt]] - %, ‰을 확장한 개념으로 [math(\rm1\,ppm)]은 전체를 [math(10^6 = 100)]만으로 놓았을 때의 비율을 의미하며 [math(\rm ppb)], [math(\rm ppt)]는 국가에 따라 그 의미가 다르다. milliard, billiard가 포함된 소위 long scale 체계를 쓰는 나라에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^{12})](1조분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{18})](100경분의 1)을 의미하지만 milliard, billiard가 없는 소위 short scale 체계를 쓰는 나라에서는 [math(\rm1\,ppb = 1/10^9)](10억분의 1), [math(\rm1\,ppt = 1/10^{12})](1조분의 1)을 의미한다. 이 때문에 '''[[국제단위계]]에서는 [math(\bf ppb)], [math(\bf ppt)]의 사용을 허용하지 않는다.''' === [[각]], [[입체각]] === * [[라디안]]([math(\rm rad)]) - 반지름에 대한 호의 길이의 비로 나타낸 평면각의 단위. * [[스테라디안]]([math(\rm sr)]) - 반지름 제곱에 대한 구 표면의 넓이 비로 나타낸 입체각의 단위. 사실 평면각은 '회전'(turn)을 단위로 하여 나타낼 수도 있는데 회전이 무차원의 단위이기 때문에 평면각 자체가 무차원량이다. [[라디안]]은 이를 수학적으로 더 엄밀하게 나타낸 표현에 불과하다. [[입체각#평방도를 단위로 하는 경우|입체각은 평면각의 제곱과 같으므로]] 입체각 역시 그 자체로 무차원량이며 이를 엄밀하게 정의한 것이 스테라디안이다. === 학문 분야에 따른 무차원량 === ==== 광학 ==== * [[굴절률]] [math(n)] ==== 물리화학 ==== * 이온화도 [math(\alpha)] * 활동도 [math(a)] * 활동도 계수 [math(\gamma)] * 화학 반응의 모든 [[평형상수]] [math(K)] ==== 생물학 ==== * [[베버의 법칙]]에서 베버 상수 [math(k)] ==== 소립자 물리학 ==== * [[물리 상수#미세구조상수|미세구조상수]] [math(\alpha)] ==== 역학 ==== * 반발계수 [math(e)] - 충돌 전후 상대속도의 비율. ==== 유체역학 ==== * [[레이놀즈 수]] [math(\rm Re)] - 유체의 관성력과 점성력의 비율. 두 물리량의 단위는 [math(\rm Pa = kg/(m{\cdot}s^2))]이다. * 레일리 수 [math({\rm Ra}_x)] - 확산에 의한 열 전달 속도와 대류에 의한 열 전달 속도의 비율. * [[마하|마하 수]] [math(\rm Ma)] - 음속에 대한 유체 흐름의 속도 비. ==== 재료공학 ==== * [[푸아송 비]] [math(\nu)] ==== 전자기학 ==== * [[유전율#s-3|비유전율]] [math(\varepsilon_{\rm r})] * 비투자율 [math(\mu_{\rm r})] * [[자화율]] [math(\chi)] == 관련 문서 == * [[차원#측정학]] * [[SI 단위]] [[분류:도량형]]