[include(틀:초등함수의 목록)] [목차] == 개요 == {{{+1 irrational function · [[無]][[理]][[函]][[數]]}}} 중등 교육과정 전용 용어로, [math(y=\sqrt{x+4})], [math(y=\sqrt[3]{x^2+2x}+5)]와 같이 [[제곱근|무리식]]이 포함된 함수를 말한다. 이 문서에서는 중등 교육과정에서 다루는 다음과 같은 꼴을 주로 설명한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(f(x)=\pm \sqrt{ax+b}+c\;)] (단, [math(a \neq 0)]인 상수, [math(b)], [math(c)]는 상수)}}} == [[정의역]]과 [[치역]] == 무리함수에는 근호가 포함되어 있고, 근호 안에는 음수가 올 수 없기 때문에 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])에 대하여 정의역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \geq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} )]}}} 를 만족시켜야 하고, 치역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq c,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]}}} 이 된다. 특히 [math(b=c=0)]일 때, 함수의 꼴은 [math(f(x)=\sqrt{ax})]가 되고, * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )]이다. * 치역은 [math( \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq 0,\,f(x) \in \mathbb{R} \} )]이다. == 그래프 == 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프의 성질은 다음과 같다. * 위 문단에서 무리함수의 역함수가 이차함수임을 밝혔으므로 [[포물선]]의 일부이다. * 그래프의 시작점은 [math(\left( -\dfrac{b}{a},\,c \right))]이다. * [math(|a|)]값이 작을수록 그래프는 직선 [math(y=c)]에서 가까워진다. 모든 무리함수의 그래프는 평행이동을 통하여 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax})] 형태로 바꿀 수 있으므로 이 함수들의 그래프만 따져보면 된다. 다음은 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{\pm ax}\;(a>0))]의 그래프이다. [[파일:나무_무리함수_그래프_11.png|width=270&align=center]] 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 그래프는 [math(y=\pm \sqrt{ax})]를 평행이동하면 된다. 예시로 [math(y=\sqrt{-2x-4}+3)]은 [math(y=\sqrt{2x})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 한 후 [math(x)]축 방향으로 [math(-2)]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(3)]만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다. [[파일:나무_무리함수_그래프_예시.png|width=220&align=center]] === 대칭이동 === 무리함수 [math(f(x)=\sqrt{ax+b}+c)] (단, [math(a>0)])는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle f(x)=\sqrt{a\left(x+\frac{b}{a} \right)}+c )]}}} 형태로 변환할 수 있고, 이에 따라 해당 함수의 그래프는 [math(y=\sqrt{ax})]의 그래프를 [math(x)]축 방향으로 [math(-{b}/{a})]만큼, [math(y)]축 방향으로 [math(c)]만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 [math(y=\sqrt{ax})]에 대해 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 세 가지 유형의 함수를 얻을 수 있다. * [math(y=\sqrt{-ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(y)]축에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \geq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] * [math(y=-\sqrt{ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 [math(x)]축에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] * [math(y=-\sqrt{-ax})] * [math(y=\sqrt{ax})]를 원점에 대하여 대칭이동 * 정의역은 [math( \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} )] * 치역은 [math( \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} )] == [[역함수]] == 무리함수 [math(y=\pm \sqrt{ax+b}+c)]의 역함수를 구하기 위해 [math(x)]와 [math(y)]의 자리를 바꾸면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle x=\pm\sqrt{ay+b}+c \quad \to \quad \pm\sqrt{ay+b}=x-c )]}}} 양변을 제곱하여 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ay+b=(x-c)^{2} \quad \to \quad y=\frac{1}{a}\{(x-c)^{2}-b\} )]}}} 로 [[이차함수]]가 된다. 단, 역함수의 정의역은 본래 함수의 치역임에 유의한다. 즉, 역함수의 그래프는 대칭축을 기준으로 반으로 잘린 모양이다. == 무한에 대한 [[극한|극한값]] == 모든 무리함수의 그래프는 무리함수 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]만 논해도 무방하다. [math(y=\sqrt{ax} \;(a>0))]의 극한값은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty )]}}} 이고, 이는 변형된 [[엡실론-델타 논법]]으로 증명된다. 곧, 임의의 양수 [math(M)]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle x>K \Rightarrow \sqrt{ax} >M )]}}} 을 만족시키는 양수 [math(K)]가 존재함을 보이면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ax} >M &\to \sqrt{x}>\frac{M}{\sqrt{a}} \\& \to x>\frac{M^{2}}{a} \end{aligned})]}}} 따라서 [math( \displaystyle K = {M^{2}}/{a} )]으로 택하면 충분하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} x>\frac{M^{2}}{a} \Rightarrow \sqrt{ax}>M \end{aligned} )]}}} 이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]임을 알 수 있다. 고등학교 수준에서는 '[math(x)]가 무한히 커지면 [math(\sqrt{ax})]도 무한히 커지므로 [math(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty)]'로 알면 충분하다. == [[도함수]] == 무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 도함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{nx} )]}}} 이 도함수는 [[0으로 나누기|[math(x=0)]에서의 기울기를 기술할 수 없음]]을 나타낸다. 즉, [math(x=0)]의 접선은 [math(x)]축에 수직이므로 기울기가 발산한다. == [[역도함수]] == 무리함수 [math(f(x)=\sqrt[n]{x})]의 역도함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int f(x)\, {\rm d}x=\frac{nx\sqrt[n]{x}}{n+1}+\textsf{const.} )]}}} 이다. [math(\textsf{const.})]는 적분 상수이며 [math(C)]로도 쓴다. === 특수한 적분법 === ==== 일차식의 거듭제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math(\sqrt[n]{ax+b})] (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{ax+b}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다. ==== 유리식의 거듭제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)} )] (단, [math(a\sim d)]는 상수)를 포함할 때는 [math( \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t )]로 치환하면 피적분함수가 [math(t)]에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다. ==== [[삼각치환|삼각치환법]] ==== 피적분함수가 [math(\sqrt{a^2-x^2})], [math(\sqrt{a^2+x^2})] (단, [math(a)]는 상수) 형태일 때 변수를 [[삼각함수]]로 치환하여 적분하는 방법이다. [include(틀:상세 내용, 문서명=삼각치환)] ==== 이차식의 제곱근이 포함된 경우 ==== 피적분함수가 [math(\sqrt{ax^2+bx+c} )] (단, [math(a)], [math(b)], [math(c \neq 0)])을 포함할 때, [math(a)]의 부호에 따라 적분한다. '''[1] [math(\boldsymbol{a>0})]''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x)]}}} 로 치환하여 피적분함수를 [math(t)]에 대한 유리식으로 바꾸어 적분한다. '''[2] [math(\boldsymbol{a<0})]''' 이차식 [math(ax^2+bx+c)]를 [math(a(x-\alpha)(x-\beta))]로 인수분해하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}}=t )]}}} 로 치환한 뒤 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( x=\dfrac{\alpha+\beta t^2}{t^2+1} \quad \to \quad {\rm d}x=\dfrac{2t(\beta-\alpha)}{(1+t^2)^2}\,{\rm d}t )]}}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \sqrt{ax^2+bx+c}=\dfrac{\sqrt{-a} |\alpha-\beta| }{1+t^2} )]}}} 임을 이용하여 적분한다. ==== [[타원/타원 적분|타원 적분]] ==== [include(틀:상세 내용, 문서명=타원/타원 적분)] 무리함수의 적분으로 정의되는 [[특수함수]]다. == 기타 == * 무리함수는 고1 때 배운다. * 무리함수는 도함수를 구하는 것이 비교적 쉬우나 역도함수는 여러 적분법을 써야 간신히 구해지는 경우가 많다. == 관련 문서 == * [[근호]] * [[이차함수]] [[분류:해석학(수학)]][[분류:초등함수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]