[include(틀:대수학)] [목차] '''Monoid''' == 개요 == [[대수학]]에서 다루는 대수적 구조의 일종으로, [[군(대수학)|군]]이나 [[환(대수학)|환]]보다 약한 조건으로 정의된다. == 정의 == [math(M)]과 그 위의 [[이항연산]][math(*)][* *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.]에 대해, [math(\left(M,*, e\right))]가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다. >(결합법칙; associativity) 임의의 [math(a,b,c\in M)]에 대해, [math(a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c)] >(항등원의 존재; identity) 적절한 [math(e\in M)]이 존재하여[* 여기서 [math(e)]를 항등원이라 한다. [[자연로그의 밑]]이 아니다.], 임의의 [math(a)]에 대해, [math(a*e=a=e*a)] 이는, [[군(대수학)|군]]에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해([math(0)]을 포함하는) [math(\mathbb{N})]이다. 곱셈에 대해서 [math(\mathbb{Z})]도 군이 아닌 모노이드이다. == 자유 모노이드(free monoid) == 자유 모노이드는 집합 [math(X)]위에서 정의된다.집합 [math(X)]에 대한 자유 모노이드 [math(F\left(X\right))][* 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다. ]는 [math(X)]의 원소들로 이루어진 단어[* 단어를 다음과 같이 묶어서 표시한다. [math(\displaystyle \left[\cdot\right])]]들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열[math(e=\left[\right])]이다. 예를 들어, [math(X=\left\{a,b\right\})]에 대해, 다음이 성립한다. >[math(\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right))] >[math(\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right])] [math(\left|X\right|>1)]이면 [math(F\left(X\right))]는 비가환이고, [math(\left|X\right|=1)]이면 [math(F\left(X\right)=N)], [math(\left|X\right|=0)]이면 [math(F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\})]이다. == 가환 모노이드의 [[알렉산더 그로텐디크|그로센딕]] 확장(Grothendieck extension) == 모노이드 [math(M)]에 대해, [math(M^{2})]위의 동치류 [math(\equiv)]를 다음과 같이 정의한다. >[[TFAE]] >[math(\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right))] >[math(\exists m\in M aym=bxm)][* 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. [math(m)]의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다. ] 그리고 [math(~)]에 의한 [math(\left(a,b\right))]의 동치류를 [math(\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv)]라 하자. 이 위의 연산 [math(\cdot)]을 [math(\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right])]라 주면, 이는 결합적이고[math([e,e])]이 항등원으로 가지며, [math([a,b])]의 역원은 [math([b,a])]이다. 즉, [math(\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right))]은 군이다. [[분류:대수학]]