[[분류:선형대수학]] [include(틀:선형대수학)] [목차] == 개요 == 멱등행렬(Idempotent matrix, 冪等行列)이란 제곱했을 때 자기자신이 되는 행렬을 뜻한다. 여기서 '멱'(冪)이란 '거듭제곱'이라는 뜻으로, '멱급수'의 '멱'과 같다. == 정의 == [math(E^2=E)]를 만족하는 [math(n)]차 정사각행렬 [math(E)]를 멱등행렬(Idempotent matrix)이라 한다. == 예시 == * [math(n)]차 정사각행렬의 영행렬 [math(O_{n})]과 [[단위행렬]] [math(I_{n})]은 멱등행렬이다. * [math(J_{n})]을 모든 성분이 1인 [math(n)]차 정사각행렬 (Matrix of ones)이라 할때, [math(\frac{1}{n}J_{n})]은 멱등행렬이다. [math((J_{n})^{2}=\begin{pmatrix}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \begin{pmatrix}1\\ \vdots \\1\end{pmatrix}}&\cdots&{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \begin{pmatrix}1\\ \vdots \\1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}=nJ_{n})] 이므로, [math(\left(\displaystyle\frac{1}{n}J_{n}\right)^{2}=\displaystyle\frac{1}{n}J_{n})]이 성립한다. * 사영행렬 [math(A(A^{T}A)^{-1}A^{T})]은 멱등행렬이다. [math(\{A(A^{T}A)^{-1} A^{T}\}^{2} = A\{(A^{T}A)^{-1}(A^{T}A)\}(A^{T}A)^{-1}A^{T}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T})] == 대각화 == 멱등행렬은 [[대각화]] 가능한 행렬이다. [math(f(x)=x^2-x)]가 [math(E )]의 소멸다항식[* 대입했을 때 0이 되는 다항식]이므로, [math(E)]의 최소다항식[* 소멸다항식 중 최고차항의 계수가 1이고 차수가 가장 낮은 다항식]은 [math(x^2-x=x(x-1))]의 약수이다. 그런데, 그러한 다항식은 [math(x)], [math(x-1)], [math(x(x-1))]밖에 없고, 모두 서로 다른 1차다항식의 곱꼴이므로, 대각화 가능하다. 또한 최소다항식의 근이 0이거나 1일 수 밖에 없으므로 고유값은 0이거나 1이다. 대각합은 닮음불변량이므로, 1의 중복도는 [math(\text{tr}E )]와 같고, 0의 중복도는 [math(n-\text{tr}E)]와 같음을 쉽게 알수있다. 또한 [math(E)]의 각 열벡터는 1에 대응하는 고유벡터이다. 왜냐하면, [math(E_{i})]를 [math(E)]의 [math(i)]열이라 했을 때, [math(E^{2}=E \iff E(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n})=(E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}))] 이 성립하여, [math(EE_{i}=E_{i})]를 만족하기 때문이다. 따라서, 열공간이 1에 대응하는 고유공간이다. 한편, [math(\text{Rank}(E)\neq n)][* n은 정사각행렬 [math(E)]의 크기]이면 영공간이 0에 대응하는 고유공간이므로, [[차원 정리]]에 의해서도 대각화가능함을 알 수 있다. 위를 정리하면 아래와 같다. * 고유 다항식 : [math(x^{n-\text{tr}E}(x-1)^{\text{tr}E})] * 최소 다항식 : [math(x)][* E=O일 때] 또는 [math(x-1)][* E=I일 때] 또는 [math(x(x-1))] * 고윳값 : 1 [* 0행렬이 아닐때]또는 0[* 단위행렬이 아닐 때] * 고유공간 1) 0에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 영공간 ([math(E\neq I)]일 때만) 2) 1에 대응하는 고유공간 : [math(E)]의 열공간 ([math(E\neq O)]일 때만) * 대각화: [math(I)]와 [math(O)]는 이미 대각행렬이다. 그 외의 경우도 항상 대각화 가능하며, 대각화 시 [math(\begin{pmatrix}1& & & \\ & \ddots & &\\ & & 1& & \\ & & &0 \\& & & &\ddots \\ & & & & &0\end{pmatrix})] [* 비워둔 곳은 당연히 0이다.] [math()] == 사영과의 관계 == 멱등행렬은 유한차원 벡터공간의 임의의 벡터를 어떤 부분공간 위로 사영시키는 [[선형 변환]]의 [[행렬표현]](matrix representation)이다. 유한차원 벡터공간에서 [[직교정사영]]의 정규 직교 기저에 대한 행렬표현은 영공간이 열공간의 직교여공간이다. 즉, 직교대각화 가능한 멱등행렬이며, 특히 성분이 모두 실수일 경우, 멱등행렬인 동시에 [[대칭행렬]]이다. == 성질 == 임의의 대각화 가능한 행렬 [math(D)]에 대하여, 고유값이 [math(c_{1},\cdots,c_{k})]일 때, 다음 조건 * [math(D=c_{1}E_{1}+\cdots +c_{k}E_{k})] * [math(I=E_{1}+\cdots+E_{k})] * [math(E_{i}E_{j}=O)] for [math( i\neq j)] 을 만족하는 행렬 [math(E_{1}, \cdots , E_{k} )]가 존재하며, 각 [math(E_{i})]는 멱등행렬이고, [math(E_{i})]의 열공간은 [math(D)]의 [math(c_{i})]에 대응하는 고유공간이다. 또한 임의의 다항식 [math(p)]에 대하여, [math(p(D)=p(c_{1})E_{1}+\cdots+p(c_{k})E_{k})] 가 성립하며, 특히 [[라그랑주 다항식]] [math(p_{i}=\displaystyle\prod_{j\neq i} \frac{x-c_{j}}{c_{i}-c_{j}})]에 대하여, [math(p_{i}(D)=E_{i})]가 성립한다.