[목차] == 개요 == [[아드리앵 마리 르장드르]]가 만든 수학적인 변환으로, 여러 독립변수로 표현되는 양을 다른 변수로 표현하기 위해 사용하는 방법이다. 대표적인 사례는 [[라그랑지안]] [math(\mathscr{L})]과 [[해밀토니안]] [math(\mathcal{H})]의 관계, 열역학적 기본에너지 4개 사이의 관계이다. 라그랑지안과 해밀토니안은 서로가 르장드르 변환으로 대응되는 쌍으로, 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 오갈 수 있는 일종의 Tool로 사용할 수도 있다. 그리고 열역학에서는 열역학적 기본 에너지 4개 사이의 변환에 사용된다. 자세한 사례는 하단 참고. == 상세 == 함수 [math( y=f(x) )] 위의 임의의 점에서 접선을 그었을 때의 기울기를 [math( f_x )], y절편을 [math( \psi )] 라 할때 [math(\displaystyle f_x= {y-\psi \over x-0} )] [math(\displaystyle \psi=y- f_x x )] 로 나타낼 수 있는데, 이 [math( \psi )]를 [math(y)]의 [math( {dy \over dx} )] 에대한 르장드르 변환이라고 하며, [math( \psi=y[f_x] )]로도 나타낸다. 이때 미분계수와 y절편의 집합은 x,y로 이루어진 함수와 완전히 동등한 집합으로 대응된다. 두 변수에 대한 열역학적 변환은 [math( \psi=z[f_x,f_x]=z-f_x x-f_y y )]로 나타낼 수 있다. 2차원의 경우, 조금 더 직관적으로 표현할 수도 있다. x,y축으로 이루어진 평면에 어떤 함수의 그래프가 있고 어떤 물리량 A를 이 함수를 x에 대해 적분한 결과, 다시 말해 x축과 그래프 사이의 넓이라고 정의하자. 한편으로는 y축과 그래프 사이의 넓이(y에 대해 적분한 결과)에 대응하는 물리량 B도 정의될 수 있을 것이다. 이 때 A와 B를 연결하는 변환이 르장드르 변환인 셈이다. == [[열역학]] == 온도와 압력은 각각 내부에너지 U의 편미분으로 나타난다. [math( \displaystyle T=\left ( {\partial U \over \partial S} \right)_V , P=- \left ( {\partial U \over \partial V} \right)_S )] 따라서 르장드르 변환을 진행하면 내부에너지 U로 부터 [math( U[P]=U+PV \equiv H )] [math( U[T]=U-TS \equiv A )] [math( U[T,P]=U+PV-TS \equiv G )] 로 나머지 기본 에너지 식 3개[* 순서대로 엔탈피, 헬름홀츠 자유에너지, 깁스 자유에너지]를 유도할 수 있다. 따라서 각 기본에너지들이 가지고있는 정보는 내부에너지 U와 동등하다. [[분류:수학]][[분류:물리학]]