[include(틀:다른 뜻1, other1=소인수의 수를 세는 오메가 함수, rd1=소인수 계량 함수)] [include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''람베르트 [math(\boldsymbol W)] 함수(Lambert [math(\boldsymbol W)] function''')는 [[특수함수]]의 하나로, 오메가 함수(Omega function) 또는 [[곱셈|곱]] [[로가리듬|로그]](Product logarithm)[* 정의가 로그함수([math(x = e^y)])와 유사하다.]라고도 한다. 함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 [[지수함수]]를 정의해 보자. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(y = xe^x)] || 여기서 [math(x)]와 [math(y)]를 서로 바꾸어 [[역함수]] ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(x = ye^y)] || 를 얻는데, 이를 만족하는 [math(y)]를 [math(y \equiv W(x))]로 정의하고, 람베르트 [math(W)] 함수라 한다.[* 예를 들어서 [math(x=e)]라고 한다면 [math(e=ye^y)]를 만족하는 [math(y)]의 값은 [math(y=1)]이므로 [math(y=W(e)=1)]이 된다.] 즉, [math(W(x)e^{W(x)}=x)]이다. 이 함수는 절대로 [[초등함수]]로 나타낼 수 없는데, 동일한 수로 [[곱셈|곱]]과 [[지수(수학)|지수]]가 엉켜 있는 형태이기 때문. 게다가 [math(y = xe^x)]가 [math(x = -1)]에서 극솟값 및 최솟값 [math(-e^{-1})]을 나타내므로, 람베르트 [math(W)] 함수는 기본적으로 [[음함수]]이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 [math(y = -1)]을 기점으로 [math(W_{-1}(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, \,0))]]와 [math(W_0(x))][* 정의역: [math([-e^{-1},\, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉 [math(W(x))]로 이르는 것은 실제로는 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac{W_{-1}(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_{-1}(x))} \cup \dfrac{W_0(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_0(x))})][* [math({\bf1}_{\mathbb R})]은 [[집합 판별 함수|실수 판별 함수]]이다. 실수이면 [math(1)], 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서 [[0으로 나누기|함숫값이 실수가 아닐 경우]] 정의역에서 제외된다.] || 인 셈이다. 아래는 람베르트 [math(W)] 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다. [[파일:나무_람베르트W함수_그래프_NEW.png|width=340&align=center]] [math(W_0(x))]은 매클로린 전개를 이용하여 [[무한급수]]로 나타낼 수 있는데 다음과 같다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} W_{0}(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned})] || 한편, [math(xe^x = 1)], 즉 [math(W_0(1))]을 [[오메가 상수]]라고 하며 [math(\Omega)]로 나타낸다. 위 무한급수 식에 [math(x=1)]을 대입하면 얻을 수 있고, 구체적인 값은 약 0.567143이다. 일반화된 버전으로 [math(W_n(x))]가 있는데, [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]이 아닌 경우 무조건 [[복소수]] 값을 띤다. 심지어 [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[* [math(n=-1)]인 경우 [math(-e^{-1} \le x < 0)], [math(n=0)]인 경우 [math(x \ge -e^{-1})]]를 벗어나면 복소수가 된다. === 미적분 === 이 함수의 미분은 [math(x = W(x)e^{W(x)})]를 이용해서 구할 수 있으며, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 미분하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} 1 &= W'(x)e^{W(x)} + W(x) e^{W(x)}W'(x) \\ &= W'(x)e^{W(x)}(W(x)+1) \end{aligned})] || 로 쓸 수 있다. 그런데 [math(x = W(x) e^{W(x)})]으로부터 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(e^{W(x)} = \dfrac x{W(x)})] || 이므로 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} 1 &= W'(x)e^{W(x)}(W(x)+1) \\ &= W'(x)\dfrac x{W(x)}(W(x)+1) \\ W(x) &= xW'(x)(W(x)+1) \end{aligned})] || 으로 쓸 수 있음에 따라 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(W'(x)=\dfrac{W(x)}{x(W(x)+1)})] || 을 얻는다. 단, [math(x=-e^{ -1 })]에서는 미분 가능하지 않으며, [math(x=0)]에서는 치환 전의 식에 따라 [math(W'(0)=1)]을 얻을 수 있다. 부정적분을 구할 때는 [[부분적분법]]을 이용하면 된다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \int W(x)\,{\rm d}x &= xW(x) - \int xW'(x)\,{\rm d}x \\ &= xW(x) - \int W(x)e^{W(x)}W'(x)\,{\rm d}x \\ &= xW(x) - \int W(x)e^{W(x)}\,{\rm d}W(x) \\ &= xW(x) - e^{W(x)}(W(x)-1) + C \\ &= xW(x) - \dfrac x{W(x)}(W(x)-1) + C \\ &= x\left[ W(x)-1+\frac1{W(x)} \right]+C \end{aligned})] || 중간 과정에서 미분할 때 썼던 몇몇 공식을 이용했다. === 알려진 값 === * [math(W\left( -\dfrac\pi2 \right) = \dfrac{i\pi}2)] * [math(W\left(-\dfrac1e\right)=-1)] * [math(W\left( -\dfrac{\ln a}a \right) = -\ln a \quad (e^{-1} \le a \le e))] * [math(W(0)=0)] * [math(W(1) \equiv \Omega)]: 이 값을 [[오메가 상수]]라 한다. * [math(W(e)=1)] == 활용 == === 방정식의 해 구하기 1 === 이 문단에서는 방정식 [[테트레이션|[math(x^x=a)]]]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보도록 하자. 양변에 [[자연로그]]를 씌우면, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(x\ln x = \ln a)] || 이다. [math(x = e^{\ln x})] 이므로 위 식은 [math(e^{\ln x}\ln x = \ln a)] 로 변하는데, 이 때 람베르트 [math(W)] 함수를 양변에 취하면 정의에 따라 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\ln x = W(\ln a))] || 이고, 식을 정리하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(x = e^{W(\ln a)})] || 를 얻는다.[* 이 때, [math(e^{W(\ln a)})]를 [math(a)]의 초제곱근(Super-root)이라고 한다.] 위 결과를 본 방정식에 대입하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} x^x &= (e^{W(\ln a)})^{e^{W(\ln a)}} \\ &= e^{W(\ln a)\,e^{W(\ln a)}} \\ &= e^{\ln a} \\ &= a \end{aligned} )] || 가 되므로 답과 일치한다. === 방정식의 해 구하기 2 === 이 문단에서는 [math(a^x = bx+c)]의 해를 람베르트 [math(W)] 함수로 구해보자. [math(z = bx+c)]으로 놓으면, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(x = \dfrac{z-c}b)] || 가 되고, 대입하면 [math(a^{{(z-c)}/b} = z)], 양 변에 [math(a^{ c/b})]를 곱하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math((a^{1/b})^z = a^{c/b}z )] || 가 된다. 여기서 상수를 각각 [math(a^{1/b} \equiv p)], [math(a^{ c/b} \equiv q)]로 [[치환#s-2.1]]하자. [math(t = p^z \to z = \log_pt)]로 놓으면, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(t = q\log_pt)] || 가 되고 이 식을 변형하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(p^{t/q} = t)] || 가 된다. 이제 양변에 [math(-1/t)]제곱을 취하면 ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(p^{-1/q} = \left( \dfrac1t \right)^{1/t})] || 가 된다. 이 때, [math(1/t \equiv u)]로 치환해주면, ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(u^u = p^{-1/q})] || 로, 바로 윗 문단에서 푼 [math(x^x = a)] 꼴이 되었다. [math(u)]에 대해 풀고 치환 했던 문자들을 정리하면, [math(x)]에 대한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(x = - \left[ \dfrac1{\ln a}W\left(-\dfrac{a^{- c/b}\ln a}b \right)+\dfrac cb \right])] || == 관련 문서 == * [[지수함수]] * [[로그함수]] * [[오메가 상수]] * [[테트레이션]] * [[무한 지수 탑 함수]] [[분류:비초등함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]