[[분류:수열]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:이산수학·수리논리학)] [목차] == 개요 == {{{+1 geometric sequence(progression) · [[等]][[比]][[數]][[列]]}}} 2, 4, 8, 16, 32, [math(\cdots)]처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 [[수열]]을 '''등비수열'''이라고 한다. 여기에서 연속한 두 항의 비를 '''공비'''(common ratio, [[公]][[比]])라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항을 [math(a \;(a \neq 0))], 공비를 [math(r)]로 표기한다. 첫째 항은 '''초항'''([[初]][[項]])이라고도 하며, 문자 [math(r)]은 비([[比]])를 뜻하는 ratio의 머리글자이다. == [[일반항]] == 수열 [math(\{a_{n} \})]이 공비가 [math(r)]인 등비수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r)]}}} 이에 따라 등비수열 [math(\{a_n\})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [[수열의 귀납적 정의#s-2.1.2]] 문서를 참고하라. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(a_n=ar^{n-1})]}}} 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 [[일반항]]을 정할 수 있다. == 등비중항 == [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등비수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 '''등비중항'''이라고 한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\begin{aligned} \dfrac ba=\dfrac cb \; & \to \; b^2=ac \\ & \to \; b=\pm \sqrt{ac} \end{aligned})]}}} 예를 들어 등비수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등비중항은 [math(a_7=\pm \sqrt{a_6a_8})]이다. 다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 [math(b=\sqrt{ac})]로 표현되어 그대로 '''나머지 두 항의 [[기하평균]]'''이 된다. == [[함수]]로 해석하기 == 등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 [math(a_n=ar^{n-1})]에 대하여 좌표평면에 [math((n,\, a_n))]을 나타내면 다음과 같다. [[파일:namu_등비수열_1_수정.png|width=190&align=center]] 각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 '''지수함수의 그래프의 위에 있다.''' 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 '''자연수만을 정의역으로 하는 [[지수함수]]'''이다. 이에 따라 [math(a_n)]에서 본디 [math(n)]은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다. * 등비수열 [math(a_n=2^n)]에 대하여 * [math(a_3)]과 [math(a_4)]의 기하평균은 [math(a_{3.5}=2^{3.5}=\sqrt{128})] * [math(a_5)]과 [math(a_6)]의 기하평균은 [math(a_{5.5}=2^{5.5}=\sqrt{2048})] * 위 두 값의 비는 [math(\dfrac{a_{8.5}}{a_{5.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\biggl(=\sqrt {\dfrac{2048}{128}} \biggr))] == 성질 == 등비수열 [math(\{a_n\})]과 임의의 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여 다음이 성립한다. * [math(a_{k+m}-a_k=r^m)] * [math(a_ka_l=a_{k\pm m}a_{l\mp m})] ([[복부호 동순]]) * 특히, [math(a_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2)]([[등비중항]]) 특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}a_5a_7&=3\\\rightarrow\;a_1a_2\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\&=\begin{cases}\begin{aligned}\sqrt{3^{11}}&=243\sqrt 3\quad &(a_6=ra_5>0)\\-\sqrt{3^{11}}&=-243\sqrt 3 \quad&(a_6=ra_5<0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned})] || == [[극한]] == 첫째 항 [math(a)]와 공비 [math(r)]에 따라 등비수열 [math(a_{n}=ar^{n-1})]의 극한은 달라진다. oscillation은 '''진동'''을 뜻한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\;&(r>1,\;a>0)\\&-\infty\;&(r>1,\;a<0)\\&a\;&(r=1)\\&0\;&(-1<r<1) \\&\small{\textsf{oscillation}} \;&(r \leq -1) \end{aligned}\end{cases})]}}} 따라서 등비수열이 수렴하기 위한 [math(r)]의 범위는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math({-1<r\leq 1})]}}} == 등비수열의 합 == 첫째 항이 [math(a)]이고 공비 [math(r)]이 1이 아닌 등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여, 항을 소거하기 위하여 [math(S_n)]에서 [math(rS_n)]을 빼어 등비수열의 합을 구한다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&\\ - & rS_{n}&=&&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\ \\ \end{matrix} \\ \therefore S_{n} =\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \quad (r \neq 1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; )]|| 한편, 위 공식에 [math(r=1)]을 대입하면 '''분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다'''([[부정형]]). 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [[잘 정의됨|[math(r=1)]이면 우변의 모든 항이 소거되어 공식을 제대로 유도할 수 없다]]. 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(S_n=an \quad (r=1))]}}} [[로피탈의 정리]]를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [br][math(\displaystyle\lim_{r\to 1}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\overset{\sf l'H\hat{o}pital}{=}\lim_{r\to 1}\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an)]}}} === 등비수열의 절댓값의 합 === 등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(\sum |a_k|)]를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 합을 기준으로 설명한다. 등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 [math(\{a_n\})]에 대하여 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 항 중에서 양수 항들의 합을 [math(P_n)], 음수 항들의 합을 [math(M_n)]이라 하면 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=P_n+M_n=S_n)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=P_n-M_n=S_n-2M_n)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2P_n=2(S_n-M_n))] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2M_n=2(S_n-P_n))] 이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 [math(M_n=0)], 음수이면 [math(P_n=0)]인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 '''각주를 참고하라.''' * '''모든 항이 양수''' * 첫째 항과 공비가 모두 양수 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=2\sum_{k=1}^n a_k)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=0)] * '''모든 항이 음수''' * 첫째 항은 음수, 공비는 양수 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=-\sum_{k=1}^n a_k)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=0)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=-2\sum_{k=1}^n a_k)] * '''홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수''' * 첫째 항은 양수, 공비는 음수 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}-2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [* (등비수열의 절댓값의 합)=(홀수 번째 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [* 홀수 번째 항들의 합의 2배] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [* 짝수 번째 항들의 합의 2배] * '''홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수''' * 첫째 항과 공비가 모두 음수 * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}-2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [* (등비수열의 절댓값의 합)=(짝수 번째 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1))] [* 짝수 번째 항들의 합의 2배] * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1})] [* 홀수 번째 항들의 합의 2배] ==== 예제 ==== ||<tablealign=center><#fff> [[파일:2019년3월나형16번.png|width=350&align=center]]|| || '''2019학년도 3월 고3 나형 16번''' || {{{#!folding [풀이 보기] ---- [math(\{a_n\})]의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023><tablealign=center>[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(|a_k|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\;(\because r^2=4)\\&=682a_1=66 \\ \\\end{aligned} \\ \therefore a_1=\dfrac{66}{682}=\dfrac{3}{31})] ||}}} === 제2항부터 등비수열인 경우 === 결론부터 말하면, 등비수열의 합은 [math(ar^n+b)]의 꼴이며, [math(a+b=0)]이면 첫째 항부터, [math(a+b\neq 0)]이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다. 우선 앞서 밝힌 등비수열 [math(\{a_n\})]의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\&=\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\&=\dfrac{a}{r-1}r^n-\dfrac{a}{r-1}\end{aligned})]}}} 여기에서 [math({a}/{(r-1)})]를 [math(p)]로 고쳐 쓰자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(S_n=pr^n-p)]}}} [math(a=p)], [math(b=-p)]이고 [math(a+b=0)]이 성립하므로, [math(\{a_n\})]은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 [math(S_n=5^n-1)]이면 [math(a=1,\;b=-1)]이므로 [math(\{a_n\})]은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, [math(S_n=5^n-2)]이면 [math(a=1)], [math(b=-2)]이므로 [math(\{a_n\})]은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자. ||<|2><table align=center> [math(S_n=5^n-{\color{red} 1})] || [math(a_1(=S_1))] || [math(a_2)] || [math(a_3)] || [math(a_4)] || [math(\cdots)] || || [math({\color{red} 4})] || [math(20)] || [math(100)] || [math(500)] || [math(\cdots)] || ||<|2> [math(S_n=5^n-{\color{red} 2})] || [math(a_1(=S_1))] || [math(a_2)] || [math(a_3)] || [math(a_4)] || [math(\cdots)] || || [math({\color{red} 3})] || [math(20)] || [math(100)] || [math(500)] || [math(\cdots)] || [math(a_n)]의 다른 모든 항은 같고 [math(a_1)]만이 1의 차이가 나므로 [math(S_n)] 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. 주의할 것은 [math(S_{\boldsymbol n})]이 [math(a+b=0)]인지의 여부를 따질 때는 '''지수가 [math(\boldsymbol n)]이어야 한다'''는 점이다. 예로 다음 [math(S_n)]에 대하여, 각각 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 [math(k)]의 값을 구해 보자. * [math(\boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k})] * [math(S_n=4\cdot 4^n-k )]이므로 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 [math(4-k=0)], [math(k=4)] * [math(\boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k})] * [math(S_n=4^{-1}\cdot 4^n+k)]이므로 [math(\{a_n\})]이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 [math(\dfrac{1}{4}+k=0)], [math(k=-\dfrac{1}{4})] === [[무한등비급수]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=무한등비급수)] == 기타 == * [[2015 개정 교육과정]]에 따라 고2 이상에서 [[수학Ⅰ(2015)|수학Ⅰ]]에서 등비수열을 배운다. * 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 [[등차수열]]이 된다. == 관련 문서 == * [[기하평균]] * [[지수함수]] * [[등차수열]]