[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == > [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)] > [math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][* 오일러 공식을 함수꼴로 쓸 때의 형태.] ''' ''de Moivre’s formula'' ''' [[오일러 공식]]에서 유도되는, 절대값이 1인 복소수의 '''실수지수 거듭제곱'''을 단순화시켜주는 공식이다.[* 지수함수의 복소수지수 거듭제곱은 다가함수가 되기 때문에, 드 무아브르 공식으로 유도되는 값은 대표값이 된다.] ||<math>e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta</math>이므로, 양쪽 항에 각각 [math(n)]거듭제곱을 취하면 [math(\left(e^{i\theta}\right)^{n}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n})] [math(e^{in\theta}=\cos \left ( n\theta \right) +i\sin \left (n\theta \right))]|| 또한 이 공식에 따라 허수지수함수는 반쌍형성[* 즉 [[켤레복소수|켤레]] 대칭]을 띤다. ||[math(\overline{\rm cis}(x) = {\rm cis}(-x))]|| == 지수의 확장에 따른 드 무아브르 공식의 증명 == 증명 과정은 먼저 수학적 귀납법으로 자연수 지수에 대해서 증명한 뒤, 이를 바탕으로 정수 지수, 유리수 지수에 대해서 증명하고 마지막으로 실수의 완비성을 이용해 실수 지수에 대해서 증명한다. > '''{{{+2 전제}}}''' > 정수론에서, 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]은 다음과 같이 정의된다. > ①. 자연수 집합 [math(\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}})] > ※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 [[자연수]] 항목 참조. > ②. 음의 정수 집합 [math(\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\})] > ※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다. > ③. 덧셈의 항등원 집합인 [math(\{0\})] > → 정수의 집합 [math(\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}})] 이 전제를 토대로, 수학적 귀납법을 통해 증명한다. === 정수 === ==== 자연수(양의 정수) ==== ||①. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]는 [math(n=1)]일 때는 자명하다. ②. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left(n\theta\right)+i\sin \left(n\theta\right))]가 임의의 양의 정수 [math(k)]에서 성립한다고 가정하자. 즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 성립한다. 이제, 양변에 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right))]를 곱해보자. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)=\left \{ \cos\left ( k\theta \right )+i\sin\left ( k\theta \right ) \right \}\times\left ( \cos \theta+i\sin \theta \right ))] 좌변은 지수의 성질에 의하여 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k+1})]이 되고, 우변은 전개하면 다음과 같아진다. [math(\cos\left ( k\theta \right )\cos \theta-\sin\left ( k\theta \right )\sin\theta+i\left \{\sin\left ( k\theta \right )\cos\theta \right \}+\cos\left ( k\theta \right ) \sin\theta)] 이제, [[삼각함수의 덧셈정리]]에 의하여 정리해주면, 이 식은 이렇게 단순화된다. [math(\cos\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \}+i\sin\left \{ \left ( k+1 \right )\theta \right \})]|| 즉, [math(k)]에서 성립할 때, [math(\left(k+1\right))]에서도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 이 식은 모든 자연수 [math(n)]에 대해서 항상 성립한다. 이로써 자연수(=양의 정수) 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다. ==== 0 ==== > [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에서, [math(n=0)]일 때 > 좌변은 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1)]이며 > 우변은 [math(\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1)]이므로 자명하다. ==== 음의 정수 ==== ><math>a^{-b}=\displaystyle{\frac{1}{a^{b}}}</math>라는 것과 [math(\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta))]라는 것을 기억하자. >이제, 음의 정수 [math(k)]에 대해서, [math(k=-t)]가 되는 양의 정수 [math(t)]를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해 >[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }})]가 된다. >이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 [math(\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) )]를 곱하자. 이는 [math(\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right))]의 켤레 복소수이다. >[math(\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right))]가 된다.[* [math(\displaystyle{\frac{z_1}{z_2}}=\displaystyle{\frac{z_{1}\bar{z_2}}{\left|z_2\right|^{2}}})]라는 점을 이용해도 된다. [math(z_1=1)], [math(\left|z_2\right|=1)]이므로 [math(\displaystyle{\frac{1}{z_2}}=\bar{z_2})]라고 해석할 수도 있다.] >이 때, [math(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다. > >이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다. === 실수 === ==== 유리수 ==== ||{{{+2 전제}}} 정수지수에서 성립함을 보였기 때문에 이를 이용한다. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos (n\theta)+i\sin(n\theta))]가 유리수 지수 [math(n=\displaystyle{\frac{a}{b}})] (a, b는 서로소인 정수)에서 성립한다고 하자. 즉, [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}=\displaystyle{\cos \left (\frac{a}{b}\theta\right)+i\sin(\frac{a}{b}\theta) })]가 성립한다고 하자. 이제, 양 변을 [math(b)]제곱하자. [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)}}\displaystyle{^{b}}=\displaystyle{(\cos (\frac{a}{b}\theta)+i\sin (\frac{a}{b}\theta))^{b}})] 좌변을 정리하면 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{a}=\cos \left ( a\theta \right)+i\sin \left ( a\theta \right) )]가 되고, 우변도 정리하면 다음과 같다. [math(\cos \left( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)+i\sin \left ( b\cdot\frac{a}{b}\theta \right)=\cos \left( a\theta \right )+i\sin \left ( a\theta \right) )] 양 변의 계산값이 같으므로, 유리수 지수에서도 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다.|| ==== 무리수 ==== >{{{+2 전제1. 실수의 완비성}}} > 수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다. > ※예시 > [math(\sqrt{2}=1.414213\cdots)]라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다. > [math(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots)] > [math(\displaystyle{\frac{a}{b}})]라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다. > [math(a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}})] >{{{+2 전제2. 지수함수의 무리수지수 정의}}} > [math(a^{b})]라는 수가 주어졌을 시, [math(b)]가 무리수라면, 이 [math(b)]를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 [math(u_{n}, l_{n})]을 만들 수 있다. > 그렇다면, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}})]로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 [math(a^{b})]라고 정의된다. 이로써 유리수, 무리수 지수에서 모두 성립하므로, 실수 지수에서 드 무아부르 공식이 성립함을 증명했다. 즉, 실수의 완비성에 의하여 모든 실수 지수에서 성립하게 되는 것이다. (Q.E.D) [[분류:해석학(수학)]]