[목차] == 정의 == 임의의 정식 [math(f(x, y, z, ...))]에 대해 어느 두 문자를 교환해도 식이 변함없을 때, 식 [math(f(x, y, z, ...))]을 "대칭식" 이라고 한다. 예를 들면, [math(f(x, y, z)=x^3+y^3+z^3-3xyz)]는 [math(f(x, y, z)=f(y, x, z)=f(x, z, y)=f(z, y, x)...)]를 만족하므로 대칭식이다. 대칭식의 집합은 덧셈, 뺄셈, 상수배, 곱셈에 대해 닫혀 있다. 따라서 모든 대칭식은 기본 대칭식들의 합과 차, 곱으로 표현 가능하다. 중등과정에서는 다항식의 계산이나 인수분해 등에서 [[교대식]]과 더불어 3변수 경우가 흥미롭게 혹은 유용하게 쓰일 수 있는 주제 정도이지만, [[대수학]]으로 넘어오면 대칭식인 다항식 '''대칭다항식'''(symmetric polynomial)은 여러모로 어마어마한 지위를 차지하게 된다. === 형식적 정의 === 추상[[대수학]]의 [[군론]]을 이용하면 다음의 정의가 가능하다. [[대칭군]] [math(S_n)]이 [math(n)]개의 변수 [math(x_1, x_2, \cdots, x_{n})]에 단순치환으로 작용할 때, 다항식환 [math(k[x_1, \cdots, x_n])]에 [[표현론|표현]]을 유도한다고 볼 수 있다. 이 표현에 대해 불변인 다항식들이 대칭다항식이 된다. 이 정의가 강력한 것은 대칭군을 일반적인 군 [math(G)]로 바꾸고, [math(G)]에 대한 불변 다항식(invariant polynomial)들을 비슷하게 생각할 수 있다는 것이다. [[교대식]]의 경우도 [math(A_n)]에 대한 불변다항식이면서 단일 치환(transposition)에 부호가 바뀌는 것으로 볼 수 있는 것. 일반적으로 이런 불변 다항식의 집합을 [math(k[x]^{G})]로 쓰고, 이들은 덧셈 및 곱셈에 대해 닫혀 있는 환을 이룬다. == 대칭다항식의 기본정리 == '''기본 대칭다항식'''(elementary symmetric polynomial)이란 n개의 변수 [math(x_1, x_2, \cdots, x_{n})]에 대해서 이 중 [math(k)]개를 뽑은 곱들의 총합을 말한다. [math( \displaystyle e_k = s_k(x_1, \cdots, x_n) = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k} )] 예로 [math(n=3)]이면 [math(e_1 = x+y+z, e_2 = xy+yz+zx, e_3 = xyz)] 정도가 되겠다. 일반적으로 다음처럼 근과 계수와의 관계에서 튀어나오는 녀석들로도 생각될 수 있다. [math( \displaystyle \prod_{i=1}^{n} (t + x_i) = t^n + \sum_{k=1}^{n} e_k(x_1, \cdots, x_n) t^{n-k} )] 이들 기본대칭다항식들을 이용하면 대칭다항식을 유일한 방식으로 나타낼 수 있다. 정확히는 다음이 성립한다. ||'''대칭다항식의 기본정리'''(fundamental theorem of symmetric polynomials) 임의의 대칭다항식 [math(f(x_1, \cdots, x_n))]에 대해서, [math(f(x_1, \cdots, x_n) = g(e_1(x_1, \cdots,) \cdots, e_n(x_1, \cdots,)))]을 만족시키는 다항식 [math(g(y_1, \cdots, y_n))]이 유일하게 존재한다.|| 예를 들어 [math(n=3)]의 경우 [math( x^2 + y^2 + z^2 = e_1^2 - 2e_2, x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = e_1^3 - 3 e_1 e_2 )] 등등이 성립한다. 주어진 대칭다항식을 차수에 따라 분류하고, [math(e_k)]의 차수가 정확히 k라는 사실을 이용하면 표현을 더욱 쉽게 할 수 있다. == 활용 == 경시대회에선 대칭다항식의 기본정리를 사용하여 식의 표현을 간단히 하는 경우가 많다. 특히 그나마 계산이 편한 3변수인 경우가 많이 쓰인다. 다만 주의할 점은 [[절대부등식]]등을 증명할 때인데, 실수 범위에서는 [math((x,y,z) \rightarrow (e_1, e_2, e_3))]의 대응이 명확하지 않기 때문에 [* 즉 삼차방정식이 실근 셋 혹은 양수근 셋을 가질 정확한 조건을 묻는 것인데, 고교수준에서는 증명이 힘들다.] 무작정 기본대칭다항식으로 바꾸면 곤란한 경우도 있다. === [[갈루아 이론]] === 방정식의 근의 대칭을 다루는 갈루아 이론의 근간 중 하나가 된다. n차 유리계수 다항식 [math(f(t))]의 근 하나가 [math(\alpha_1)]이고 이들의 켤레근이 [math(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)]일 때(즉 [math(f(t) = \prod (t-\alpha_i))] 일때), 이 켤레근에 대한 대칭다항식은 유리수가 된다. 근과 계수와의 관계에 의해서 기본 대칭다항식들이 계수가 되고, 모든 대칭다항식이 조합이 되기 때문. 반대로 말하면 방정식을 푸는 것은 '기본 대칭다항식의 값을 알 때, 각각의 변수 값을 어떻게 알 수 있을까?'의 문제가 된다. 이에 대한 답도 대칭다항식에 달려 있다. 이차방정식을 풀 때는 [math(x+y, xy)]에 대한 정보로부터 대칭다항식 [math((x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy)]을 이끌어냈다. 근의 공식 안에 들어가 있는 판별식 [math(b^2-4ac)]가 저 [math((x-y)^2)]와 관련이 있는 것이다. 삼차방정식은 조금 더 복잡하지만, [[교대식]] [math((x-y)(y-z)(z-x))]의 제곱이 대칭식임을 우선 이용한다. 그럼 제곱근을 풀어 [math((x-y)(y-z)(z-x))]의 값을 얻을 수 있다. 그 다음은 훨씬 복잡하지만... [math(x + \omega y + \omega^2 z)]([math(\omega = e^{2 \pi i /3})])의 세제곱이 대칭식과 교대식의 합으로 나타나짐을 이용해서[* 교대군 [math(A_3)]가 작용하면 저 식은 [math(1,\omega,\omega^2)]배 중 하나가 되므로, 세제곱을 하면 불변이다. 식을 전개하지 않고도 알 수 있는 사실.] 세제곱근을 풀면 된다. 이렇게 카르다노의 근의 공식을 해석할 수도 있다. [[분류:대수학]]