||[[파일:attachment/math_qt.jpg|height=400px]] || [[파일:1-s2.0-S0315086014000299-gr004.jpg|height=400px]] || [[파일:img246.jpg|height=400]] || || 흔히 생각하는 계산 노가다[* 첫 문제의 출처는 2004년 고3 3월 학평 나형 14번이고, 두 번째 문제 출처는 2007년 고1 6월 학평 26번 문제이다. 두 번째 문제의 답은 200.] || [[베른하르트 리만|리만]]의 계산 노가다[* 다름 아닌 [[리만 가설]]을 연구하기 위해 깜지를 쓴 것이다.] [[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086014000299|출처]] || [[선형대수학]]의 계산 노가다[* 3차 [[정사각행렬]]의 [[역행렬]]을 각각 첨가행렬과 [[크라메르 공식]]으로 구하는 과정이다.] [[https://mathkorea.wordpress.com/2011/11/30/%EC%97%AD%ED%96%89%EB%A0%AC-%EA%B5%AC%ED%95%98%EB%8A%94-%EB%91%90%EA%B0%80%EC%A7%80-%EB%B0%A9%EB%B2%95/|출처]] || [목차] == 개요 == 수학 문제 풀이법에 대한 [[은어]]. 시간만 있으면 계산을 반복함으로써 답을 얻을 수는 있으나 한방에 풀어내는 규칙이나 공식은 잘 모르겠을 때, 엄청난 시간을 들여 단순 계산을 반복하면서 답을 도출하는 것을 말한다. 실제 컴퓨터가 계산하는 방법이다.[* 물론 '어떻게 하면 컴퓨터가 더 효율적으로 계산할 수 있을까?' 하는 연구도 활발하다. 이에 대해 공부하는 과목이 [[수치해석학]]이다.] 특히 수열 파트에 나오는 탑쌓기 문제 등을 아스트랄한 노가다를 해내서 맞히면 반에서 '''[[용자]]의 칭호'''를 획득하게 되며, 인터넷에서도 간간이 짤방으로 등장한다. == 시행착오법? == 이 문서에서는 단순히 복잡한 계산을 의미하기 때문에, '[[예상과 확인|적합한 수를 대입해보고 안 되면 다른 수를 대입해보는 방식]]'의 '''시행착오법(trial and error)''', '''발견적 추론'''과는 다르다[* 예시: [[삽자루]]의 [[https://cafe.naver.com/gangmok/668338|청도 우시장]] 문제]. 그러나 시행착오법이 여기로 다이렉트된 경우가 많으므로 착각하지 말 것. 이하 문단에서도 이를 구분짓지 못하고 서술한 부분이 있으므로 적합한 수정이 이루어질 때까진 걸러 읽자. == 사례 == 학문적으로 말하면 [[이산수학]]에서 말하는 방법론 중 하나이다. '''이산'''수학인 이유는 연속[* [[연속함수]]에서 말하는 그 연속이다.]이 아닌 이산적인 대상을 다루기 때문이다. 이런 노가다는 주로 수열문제처럼 일정한 규칙은 있는데 그 규칙을 일반화하지는 못한 경우[* 이런 것들을 평가원 용어로 발견적 추론이라고 한다.] 발생하게 된다. ~~물론 [[미분방정식]]처럼 더럽게 계산 많이 하는 문제도 노가다의 일종이긴 하다.[* 취소선이 그어져 있지만 농담이 아닌 게 어지간한 미분방정식은 [[부분적분]], [[삼각치환]], [[라플라스 변환]], [[푸리에 변환]] 등등 별 짓을 다 해야 한다! 멀리 갈 것 없이 [[타원]] 문서에서 [[타원/타원 적분|둘레 길이 구하는 과정]]부터 노가다인 것을 볼 수 있다(...). 만약 [[초월함수|상술한 방법으로 적분이 곤란한 꼴의 함수]]가 나왔다면? [[테일러 급수]]로 전개해서 '''항마다 적분해야 하는 노가다를 해야 한다.'''][* 사실 [[선형대수학]] 쪽도 다를 게 없는데, [[역행렬]], [[텐서]] 계산에서 노가다를 강요받는 경우가 상당히 많다(n차 정사각행렬의 [[역행렬]] 계산은 '''[[팩토리얼|n!]]번''' 이루어진다고 보면 편하다...). 그리고 미분방정식과 선형대수학의 콜라보인 '''편미분방정식'''은 그 절정.]~~ 따지고 보면 수학적인 사고와 정상적인 문제풀이 과정을 통해 규칙을 유추하고 답을 도출했다고 해도, 검산하면서 그 답을 확신하기 위해서는 결국 노가다 내지는 역대입이 가장 확실하긴 하다. 소싯적의 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]도 훗날 [[소수 정리]]라고 불리는 수학적 성질을 밝혀내기 위해 매일 1000개씩 [[소수(수론)|소수]]를 찾아내서 [[자연로그]]에 집어넣는 용자짓을 저지르기도 했다. 또한 경우에 따라서는 공식에 대입해서 푸는 것보다 노가다를 약간 하는 것이 더 효율적일 수도 있다. 실제로 7차 교육과정 수학 1의 수능출제 매뉴얼에선 '''10항까지 축차대입해서 규칙성을 알 수 있는 문제'''가 출제범위다! ~~이딴 문제를 붙잡고 있다가 시간 날리고 나중에 해답을 확인해 보면 매우 빡치게 된다~~ 애초에 수능에서는 수험생이 태어나서 처음 보는 수열이 나오기 때문에, 정말 규칙을 모르겠다면 5~6항 정도까지는 계산을 반복하는 것도 나쁘지 않다.[* 대부분 수열파트는 4항까지 해보면 등차수열인지 등비수열인지 계차수열인지는 극명해진다.] 이때 자기가 숫자 계산 잘한다고 결과의 값만 옮겨 적을 게 아니라 식의 형태를 남겨 두는 게 포인트. 노가다 결과가 1+3+6+10+...이라면 규칙성을 발견하기 어렵지만 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+...와 같은 식으로 노가다를 해 나가다 보면 규칙성을 쉽게 발견할 수 있다. 사실 문제당 시간 제한이 촉박한 수능이나 내신보다는 '''KMO 등의 수학경시에서''' (특히 조합영역) 굉장히 파워풀한 방법이다. --실제로는 [[KMO]] 볼 때 마지막 2시간 동안 전체 응시자의 절반 이상이 노가다를 뛴다.-- 경시학원에서는 --NGD Theorem이라며-- 가장 '''효율적으로(...) 경우의 누락 없이 노가다를 뛰는 방법'''을 중요하게 가르치기도 한다. 특히 정수 문제의 경우 [[디오판토스 방정식|어떤 방정식의 해가 정수로 한정되어 있기에]] 그 해의 범위를 구하고 그 안의 수들에 대해 전부 대입해보는 방법이 많이 사용되며, 조합도 각각의 경우를 효율적으로 찾는 방법을 가르치는 경우가 많다. --시험시간 내내 조합영역 한 문제만 노가다로 잡고 풀면 결국 풀린다.-- 한 경험자의 말에 따르면, "더블카운팅? 트리? 점화식? 스털링 수? 다 필요없어. NGD 하나면 된다." 라고 한다.[* 그런데 저런 방법을 사용하기엔, 특히 스털링 수의 경우 나오는 경우가 너무 적어서 차라리 노가다를 연습하는게 효율적일 수도 있다. 이쪽은 노가다를 너무 등한시하고 기피하면 오히려 더 문제가 되는 케이스다.][* 심지어 학력평가 기출문제 중에는 방정식 [math(2^a=a+12)]의 양수해를 구하는 문제가 나온 적이 있는데, 이 꼴의 방정식은 필연적으로 [[람베르트 W 함수]]를 이용해야 한다. 그런데 이 함수는 '''고등학교 과정에서는 아예 가르치지 않는 [[초월함수]]다.''' 그래서 고등학생은 노가다 말고는 선택지가 없다. 참고로 답은 4.] 쉽게 말하자면 5*8=40이라는 공식을 5+5+5+5+5+5+5+5=40 이런 식으로 계산하는 방식이다. 물론 위의 그림처럼 하느니 그냥 공부 좀 해서 규칙을 파악할 수 있는 능력을 습득하는 게 훨씬 좋다. 저렇게 일일이 계산해서 확인해 보는 것도 필요하다면 필요한 짓이겠지만 그려려면 뭐 때문에 수열이니 뭐니 하는 것을 공부하겠는가. 사람은 컴퓨터가 아니니 저 미친 듯한 양의 노가다를 안 하려고 공부하는 거다. ~~그런데 [[유체역학]]이나[* 그러니까...[br][[파일:external/upload.wikimedia.org/a34304c2f5c7418ad383d04ff4ae2bb5.png]][br][[나비에-스토크스 방정식|이런 놈]]을 매일 마주해야 하는 것이 유체역학 수업이다.] [[위상수학]],[* 사실 위상수학은 계산노가다가 그렇게 필요하진 않다. 대신 '''그 이상의 양으로 증명을 써내려가야 한다.'''] [[미분기하학]],[* [[수학과]], [[수학교육과]] 과목에서 가장 노가다가 심한 과목으로 꼽힌다. 특히 수학교육과의 경우 [[수학교사]]가 되느냐 마느냐가 이 미분기하학의 노가다를 감내할 수 있느냐에 달려 있다고 봐도 과언이 아니다. [[일반 상대성 이론]] 역시 미분기하학으로 이론을 기술해야 하기 때문에 노가다와 떨어질래야 떨어질 수가 없다.] [[해석적 정수론]] 같은 걸 파는 사람들은 공부를 하든 안 하든 문제 하나 푸는 데 노가다의 극을 달린다(...).~~ [[컴퓨터]]의 등장 이후 컴퓨터가 실제로 노가다로 계산을 해서 미해결문제를 증명하는 일이 나타나고 있다. 최초로 인정 받은 것은 [[4색정리]]이며, 이를 계기로 계속 증가하고 있다. [[골드바흐 추측|골드바흐의 약한 추측]]도 10^^30^^보다 큰 수에서 성립한다는 것이 확인되자, 7부터 10^^30^^까지는 그냥 컴퓨터 돌려서 해결했다. 물론 이것도 엄연히 수학적인 증명으로 인정받는다.[* 다만 [[리만 가설]]과 [[스큐스 수]]에서도 확인할 수 있듯이, 큰 수의 세계에서는 상상도 할 수 없는 일이 일어나곤 한다. 종래에는 [[로그 적분 함수]]([[로그함수]]의 역수를 [[적분]]한 함수)가 [[소수 계량 함수]]보다 항상 클 것이라고 예상했었고, 사람들이 계산할 수 있는 정도로 큰 수에서는 그것이 사실이었으나, [[스큐스 수]]를 기준으로 로그 적분 함수와 소수 계량 함수의 대소 관계가 역전되며, '''심지어 대소 관계가 무한히 역전을 거듭한다!''' 최초로 계산된 스큐스 수는 [math(10^{10^{10^{34}}})] 정도. 매우 큰 값의 수에서는 어떠한 일이 일어날지 확인할 수 없으며, 귀납법의 가장 치명적이고 원시적인 약점이기도 하다. [[초월수]] 인정이 어려운 이유 중 하나이기도 하다.] 한편 이것을 [[해킹]] 기법으로 발전시킨 것이 [[브루트 포스|무차별 대입 공격(Brute Force Attack)]]으로, 정답이 나올 때까지 모든 수를 다 찍는 것이다. 주로 복호화가 되지 않는 [[해쉬]] 함수가 공격 목표가 되는 편. 불행히도 [[MD5]]는 이미 뚫린 지 오래며, [[SHA]]도 현 시점에서는 SHA-3을 제외하면 모두 털린 상태라고 한다(...) 또한 [[수능]]에서도 종종 볼 수 있는데, 이런 노가다를 21번이나 30번에 처넣어 버리면 정말 끔찍한 일이 일어난다. 예로는 2014년 9평 B형 21번[* 뭔가 특별한 발상이 필요한 게 아니라 매개변수 도함수에 3,4,5,6을 각각 대입해서 그래프를 전부 다 그리고 극점을 전부 다 찾아야 한다(...) 그래도 정답률은 40%대로 꽤 높다. ], '''2019년 6평 나형 30번'''[* 문과수학 최강의 노가다 문제로 꼽힌다. 그나마 발상을 잘 해서 f(x)의 함숫값을 몇 개 구해 놓으면 8번 정도만 시도해 보면 되지만, 그렇지 않다면 '''60개가 넘는 케이스를 하나 빼고 전부 다 모순을 밝혀내야 한다.''' 정답률은 무려 1.5%.], '''2019년 6월 전국연합학력평가 고2 수학 가형 30번'''[* '''역대 교육청 문제중 가장 최고난도로 손꼽힌다.''' 오답률은 '''100%'''이며, (만점자 '''5명'''.) 해설강의를 보면 경우의 수가 사람의 손으로는 도저히 계산할 수 없어서 컴퓨터 매크로 (...)를 86분 동안 돌려서 해결하는 등 총체적 난국이다] 등이 있다. === [[대수학]]에서 === [[곱셈 공식]], [[인수분해]]를 할 때 아래의 [[이항정리]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{r}b^{n-r} )]}}} 의 성질을 이용하는데, [math(n)]의 값이 클수록 계산량이 무지막지해지는 것을 알 수 있다. 초등학생들이 [[통분]]을 어려워하는 이유 중 하나이기도 한데, [[1학년의 꿈|단순히 분모를 합치는 게 아니라]] * [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+bc}{bd})] (2개의 분수의 통분) * [math(\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f} + \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f} + \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf})] (3개의 분수의 통분) 꼴로 계산해야 하기 때문이다. 또한 [[선형대수학]]에서는 수를 묶음([[벡터]], [[행렬(수학)|행렬]] 등)으로 계산하므로 필연적으로 노가다가 된다. 대표적으로 [[내적]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left<{\bold a},\,{\bold b}\right> = \sum_{k=1}^{\dim {\bold a}}\overline{a_k} b_k)]}}} 이 있다.[* 저 [math(\overline{a_k} b_k)]만 보고 저게 왜 노가다지? 하고 의문을 갖는 사람이 있을텐데, [[켤레복소수|켤레]]가 취해진 것을 보듯 저건 복소수끼리의 곱, 즉 '''다항식×다항식''' 꼴이다. 쉽게(?) 풀어서 쓰자면 [math(\Re(a_k)\Re(b_k) + \Im(a_k)\Im(b_k) - \Im(a_k)\Re(b_k)i +\Re(a_k)\Im(b_k)i)]인 셈. 그리고 한 번으로 끝나는 게 아니라 __벡터의 성분 개수__만큼 해야 한다. 흔히 생각하는 내적은 고등학교 수준에서 [math(\Im(a_k) = \Im(b_k) = 0)]임에 따라 [math(\Re(a_k)\Re(b_k))]만 남은 꼴이다.] 그리고 [[행렬곱]]은 이 내적의 반복 계산이다. 노가다와는 별개로 벡터를 '''볼드체'''로 적어야 되기 때문에 대학 초년생들은 이를 피하려고 별별 짓을 하게 된다. 물론 벡터 같은 경우에는 볼드체가 아니라 화살표 기호를 쓸 수는 있다. 허나 [[벡터(유클리드 기하학)|유클리드 공간상의 벡터]]가 아닐 경우 쓰기 곤란하고 그만큼 더 펜을 많이 쓰게 되는 건 함정. === [[해석학(수학)|해석학]], [[미적분학]]에서 === 시쳇말로 '[[극한]]직업'으로 일컫는 것이 이런 쪽을 취급하는 이들일 정도로 밑도 끝도 없는 계산으로 악명높다. 문서 상단에 있는 [[베른하르트 리만|리만]]의 깜지만 봐도 잘 알 수 있다. 원인은 다음과 같다. * 계산 과정에 '''[[무한급수]]'''를 다룬다. 원래 식은 간단한 모양이지만 미분이나 적분을 하기 위해서 일종의 무한급수인 [[테일러 급수]]로 변환시켜야 하는 일도 잦다. * [[정적분]]을 처음 배울 때 [[구분구적법]]이라는 것을 익히게 되는데, 일일이 구간을 쪼개서 리만 합으로 보내는 과정이 상당한 고역이다. 이걸 [[미적분의 기본정리|두 값을 대입한 부정적분의 차]]로 정리한 [[오귀스탱 루이 코시]]에게 [[그랜절]]을 올려야 할 정도. * 미적분의 기본정리를 쓰더라도 일부 [[초등함수]], 그 가운데 [[유리함수]]는 사실상 노가다를 면치 못한다. 적분하기 좋게 [[부분분수분해]]를 해야 하는데, 이 과정에서부터 팔저림을 호소하는 학생들이 숱하다. * [[부분적분]], [[치환적분]], [[라플라스 변환]], [[푸리에 변환]] 같은 '샛길'의 존재. 쌩으로 푸는 것보다는 쉬워지지만 그만큼 계산 과정이 길어진다. * [[편미분방정식]]까지 가면 '여러 개의 수를 뭉터기로 계산하는'[* [[행렬곱]], [[역행렬]], [[삼각화]], [[대각화]], [[내적]], [[외적]], [[텐서곱]] 등 다수] [[선형대수학]]적 방법이 추가된다. * 좀 더 수준이 올라가면 [[미분형식]], [[중적분]], [[위상 공간]] 같은 게 나와서 안 그래도 복잡한 식을 난장판으로 만든다. 예를 들자면 [[삼각 적분 함수|[math(\displaystyle \int \frac{\sin x}x \,{\rm d}x )]]]를, || [[테일러 급수|[math(\displaystyle \int \left( 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots\cdots + \left(-1\right)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} + \cdots\cdots \right)\mathrm{d}x)]]]|| 이렇게 풀어야 답이 나온다는 이야기이다. 이 때문에 [[미분방정식]]을 다루는 [[물리학]](특히 [[유체역학]][* [[상대성 이론]]을 전공하는 사람이 '''"그쪽 분야는 참 힘들게 산다."''' 라고 증언할 정도다.]), [[미분기하학]], '해석'이 붙은 수학과목[* [[수치해석]] 제외. 이건 사실 컴퓨터에게 노가다를 시키는 과목이라서 그렇다.]은 손가락이 부서져라 계산해야 하는 것이 일상일 수준. 다만 이 경우는 '시행착오'법이라고 부르기는 곤란한 면이 있다. 이는 시행착오를 겪어서가 아니라 순전히 '''무지막지한 계산량''' 때문에 노가다로 부르는 경우이기 때문. [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=노가다, version=357, paragraph=3)] [[분류:이산수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:선형대수학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]