[include(틀:정수론)] [목차] Division Algorithm == 개요 == 처음 [[나눗셈]]을 배울 때 몫과 나머지가 당연히 존재한다고 생각하고 나눗셈을 한다. 하지만 [[소인수분해]]의 존재성과 마찬가지로 몫과 나머지의 존재성은 당연한 결과가 아니며[* 당장 [[정수]]에서 [[유리수]]로만 올라가도 [[체(대수학)|나머지가 존재하지 않는다]].] 수학적인 증명이 필요하다. 나눗셈 정리는 우리가 [[나눗셈]]을 통해 몫과 나머지를 자연스럽게 구하게 할 수 있게 만들어 주는 정리이다. 자세한 정리는 아래와 같다. >임의의 양의 정수 [math(a,b)]에 대하여, [math(b=aq+r,\,\left(0\leq r<a\right))]를 만족시키는 정수 [math(q,r)]이 '''유일'''하게 '''존재'''한다. == 증명 == 크게 존재성과 유일성, 두 파트로 나뉜다. === 존재성 === 집합 [math(A=\left\{b-na|n\in \mathbb{Z},\, b-an\geq0\right\})]을 생각하자. 그럼 집합 [math(A)]는 공집합이 아니고,[* [math(n=0)]일 때, [math(b\in A)]이므로.] [math(A\subseteq \mathbb{N})][* 집합론에서는 0도 자연수에 포함한다고 본다. 그러는 편이 덧셈의 항등원이 존재하니 더 풍부한 성질을 갖기고 하고...]이므로 well-ordering 원리에 의해 집합 [math(A)]에는 가장 작은 [[원소]]가 존재한다. 그 원소를 [math(r)]이라 하면 적당한 정수 [math(q)]에 대해 [math(r=b-aq)]로 표시된다. 즉, [math(b=aq+r)]이고 [math(r\geq0)]이다. 만약 [math(r\geq a)]라 가정하면 [math(b-\left(q+1\right)a=b-aq-a=r-a\geq0)]이므로 [math(r-a\in A)]이다. 그런데 [math(a>0)]이므로 [math(r-a<r)]이고, 이는 곧 [math(r)]이 집합 [math(A)]의 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 [math(r<a)]이다. === 유일성 === 정수 [math(p,s)]가 [math(b=ap+s,\,\left(0\leq s<a\right))]을 만족시킨다고 하자. 그러면 [math(ap+s=aq+r)]로 부터 [math(\left(p-q\right)a=r-s)]이다. 여기서 만약 [math(p\neq q)]이라고 하면,[* 즉 몫과 나머지가 유일하지 않다고 하면] [math(\left|a\right|\leq\left|p-q\right|\cdot\left|a\right|)][* [math(p,q)]가 둘 다 정수이고, [math(p\neq q)]이므로, 두 수의 차의 [[절대값]]은 최소 1 이상이다.][math(=\left|\left(p-q\right)a\right|=\left|r-s\right|<\left|a\right|)]가 되어 모순이다. 따라서 [math(p=q)]이어야 하고, 이는 곧 [math(r=s)]를 의미한다. 즉, 몫과 나머지가 유일하게 존재한다. == 활용 == 이 당연해 보이는 성질을 어떻게 활용하냐면, [[정수론]]에서의 [[유클리드 호제법]]이나 [[다항식]]에서의 [[나머지 정리]] 등, 여러 가지로 활용된다. [[유클리드 호제법]]은 이 나눗셈 정리가 없다면 애초에 성립조차 할 수 없으며, 이 나눗셈 정리의 [[다항식]] 버전이 고등학교에서 배우는 [[나머지 정리]]가 되기 때문. 또한, [[최대공약수]]의 성질의 증명에서도 활용된다. 즉, 나눗셈 정리는 [[정수론]]의 기초 중에 기초라고 할 수 있다. == 관련 문서 == * [[유클리드 호제법]] * [[나머지 정리]] * [[최대공약수]] [[분류:정수론]]