[include(틀:정수론)] [목차] {{{+3 [[旣]][[約]][[剩]][[餘]][[界]] / reduced residue system}}} == 정의 == ||<bgcolor=#E9ECEF>[math(\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\})]을 법 [math(m)]에 대한 [[완전잉여계]]라고 할 때, 이들 중 [math(m)]과 [[서로소]]인 원소만 모은 집합 [math(\left\{{a}'_1,{a}'_2,\cdots,{a}'_{\varphi\left(m\right)}\right\})][* [[오일러의 정리]]에 따라 [math(\varphi\left(m\right))]개의 서로소인 정수가 있다. ]을 법 [math(m)]에 의한 '''기약잉여계'''라 한다. || 4를 예시로 들어보면, [math(\left\{0,1,2,3\right\})]은 [[완전잉여계]], 그리고 4와 [[서로소]]가 아닌 0[* 의외라고 생각할 수 있는데, [[최대공약수]]의 성질 중, [math(\gcd\left(a,0\right)=\left|a\right|)] 때문에 서로소가 아니다.], 2를 제외한 [math(\left\{1,3\right\})]는 기약잉여계가 된다. 기약잉여계가 중요한 이유는, 이들에게는 곱셈 역원이 있다는 점때문이다. 예컨대, [math(6)]에 대한 [[완전잉여계]] [math(\left\{0,1,2,3,4,5\right\})]와 그것의 기약잉여계 [math(\left\{1,5\right\})]를 생각하자. [math(\left\{1,5\right\})]의 원소는 모두 곱셈 역원을 갖는다. 그러나, 다른 완전잉여계의 원소는 그렇지 않다. 이는, [math(m)]과 [math(a)]가 서로소일 때, 정수 [math(x,\,y)]가 존재하여 [math(ax+my=1)] 즉, [math(ax\equiv 1\left(m\right))]이기 때문이다. == 추상적인 버전 == 정수[[환(대수학)|환]]의 몫환의 단위원의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]이 [math(m)]을 법으로 한 기약잉여계와 같다. 동치류들의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]의 동치류에서 대표원을 하나씩 선택하여 구성한 것이 기약잉여계라는 것을 쉽게 알 수 있다. == 관련 문서 == * [[완전잉여계]] * [[2차 잉여]] * [[오일러의 정리]] * [[페르마의 소정리]] [[분류:정수론]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]