[include(틀:다른 뜻)] * '몬스터 헌터 4G'의 극한 상태 - [[광룡 바이러스]] * 가정교사 히트맨 리본의 등장인물 사사가와 료헤이의 말버릇 - [[사사가와 료헤이]] * 철도차량 등에 사용되는 선형유도모터 '''L'''inear '''I'''nduction '''M'''otor - [[선형 전동기]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 limit · [[極]][[限]]}}} [[수학]]에서, 어떤 양이 일정한 규칙에 따라 어떤 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 그 값. 예를 들면, [[함수#s-1.6.1|일변수 함수]]에서 극한은 > [math(x)]가 한없이 [math(a)]에 가까워질 때 [math(f\left(x\right))]가 한없이 [math(L)]에 가까워지면, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L)] 이라 쓴다. 중요한 것은, [math(x)]가 한없이 [math(a)]에 가까워질 뿐 '''무조건 [math(x=a)]인 것은 아니라'''는 점이다. 특히, [math(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x))]와 [math(f(a))]의 값이 같을 필요가 없다. 두 값이 같은 경우를 "함수 [math(f)]가 [math(a)]에서 연속"이라고 한다. [math({\displaystyle \lim_{x\to2}}\frac{\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{x-2})]에서 위아래를 약분할 수 있는 것도 바로 이런 정의 덕분이다. [math(x)]가 [math(a)]에 가까워지는 중에 [math(f\left(x\right)=L)]이 되는 경우가 있어도 무방하다. 주의 할 것은, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right)=L)]이라는 것을 "[math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))]가 [math(L)]은 아니지만, [math(L)]에 한없이 가까운 값"이라고 착각하는 경우가 있다는 것이다. 하지만, 극한값 자체는 [math(L)]과 완전히 같다. [math(f\left(x\right))]의 극한값을 그렇게 '''정의'''한 것이기 때문이다. 즉, [math({\displaystyle \lim_{x\to a}}f\left(x\right))] 라는 식의 값은 더도 덜도 아닌 정확히 [math(L)]이다. 극한값이 한없이 다가가는 것이 아니라, 극한값은 그대로 있고, 함수값 [math(f(x))]가 고정된 극한값에 한없이 다가가는 것이다.[* 물론 x가 a로 점점 다가가면서 변하는 함수값이 극한값과 같은 경우도 있을 수 있다. 이 경우를 따로 a에서 f(x)가 [[연속함수|연속]]이라고 한다.] [[미분]]은 그래프의 두 점을 이은 직선의 기울기가 [math(\Delta y / \Delta x)]인데,[* 변화율을 의미한다. 거의 똑같이 생긴 [[라플라시안|라플라스 연산자]]와 헷갈리지 말 것.] 이때 "[math(x)]의 변화량이 한없이 작아지면 어떨까?"라는 생각으로부터 [math(\displaystyle \lim_{\Delta x\to\ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x})] 라고 정의하게 되었다. == 정의 == === [[수열의 극한]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=수열의 극한)] === [[엡실론-델타 논법]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=엡실론-델타 논법)] === [[초실수체|비표준 해석학]]에서의 정의 === 엡실론-델타 논법이 나온 이래, 무한소라는 존재는 별 주목을 받지 못하게 되다가, 다시 150년 후인 20세기 후반에 아브라함 로빈슨, Detlef Laugwitz 등의 수학자가 실수에서 성립하는 1차 논리 문장으로 표현 가능한 명제는 모두 그대로 성립하면서 무한소와 무한대를 포함하는 수체계인 [[초실수체|초실수]]라는 엄청난 물건을 가지고, 비표준 해석학이란 것을 만들었다. 비표준해석학에서는 엡실론-델타 논법 대신 무한소를 이용하여 해석학의 정리들을 똑같이 증명할수 있다고 한다. 비표준 해석학에서 극한을 어떻게 정의하는지 알기 위해서는 '''확장원리'''와 '''전달원리'''에 대하여 알아야 하는데, 쉽게 얘기해서 확장원리는 실함수 [math(f)]의 자연스러운 확장인 초실함수 [math(f^{*})]가 존재한다는 것이고, 전달원리란 쉽게 얘기해서, 실수에 대해 [math(f)]가 만족하는 [[술어 논리|1차 논리]]로 표현 가능한 명제는 초실수에 대해 [math(f^{*})]도 만족한다는 것이다. 예를들어, 삼각함수 [math(\sin x,\:\cos x)]에 대하여, 확장원리에 따라 자연스러운 확장인 초실함수 [math(\sin^{*}x, \cos^{*}x)]가 존재해서, 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x)]에 대하여 [math(-1\leq\sin^{*}x\leq1)], [math(\cos^{*2}x+\sin^{*2}x=1)] 등의 명제가 참이라는 것이다. '''표준부분원리'''란, 임의의 유한 초실수[math(a)]에 대하여 [math(a={\rm st}(a)+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math({\rm st}(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다는 것이다.[* 임의의 실수에 대해 실수의 소수부분과 정수부분의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 것과 비슷한 논리이다.] 여기서, [math({\rm st}(a))]를 [math(a)]의 표준부분이라 하는데, [math(a)]에 무한히 가까운 실수이다. 이 때, 일변수 실함수 [math(f)]의 [math(x\to c)]로의 극한은 다음과 같이 정의된다.[* 물론 이 정의는 엡실론-델타 논법과 완벽히 동치이다.] > 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)][* 한 쪽 극한에 대해서 생각할 필요가 있을 때에는, '임의의 무한소' 대신 '임의의 양(음)의 무한소'에 대하여로 바꾸면 된다.]에 대하여 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다. 비슷하게, [math(x\to\infty)]일 때와 [math(x\to-\infty)]일 때의 극한은 > 임의의 양의 무한대 [math(H)]에 대하여 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=-\infty)]이다. > 임의의 음의 무한대 [math(H)]에 대하여 > 1. [math({\rm st}(f^{*}(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=L)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\infty)]이다. > 1. [math(f^{*}(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty)]이다. 예를 들어서 [math(\sin x)]는 임의의 실수 [math(x\neq 0)]에 대하여, [math(|\sin x|<|x|)]가 성립해서, 확장원리와 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x\neq 0)]에 대하여 [math(|\sin^{*}x|<|x|)]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해, [math(-|\epsilon|<\sin^{*}\epsilon<|\epsilon|)]이 성립하고, [math(0={\rm st}(-|\epsilon|)\leq {\rm st}(\sin^{*}\epsilon)\leq {\rm st}(|\epsilon|)=0)] 이므로, [math(\lim\limits_{x\to 0}{\sin x}=0)]이다. [math(f)]가 대수 함수라면 더 간단한데, 예를 들어서 [math(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{2}})]일 때, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대하여, [math(f^{*}(\epsilon)=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^{2}})]은 양의 무한대이므로, [math(\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{1}{x^{2}}=\infty)]이다. [math(f)]가 디리클레 함수라면 어떨까. 즉, [math(x\in \mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=1)]이고, [math(x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q})] 이면 [math(f(x)=0)]일 때, 유리수 [math(r)]로의 극한이 발산한다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. > 확장원리와 전달원리에 의하여 [math(x)]가 초유리수이면 [math(f^{*}(x)=1)], [math(x)]가 초무리수이면 [math( f^{*}(x)=0)]이다. 자연수 [math(n)]이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해, [math(r<q<r+\displaystyle\frac{1}{n})]을 만족하는 무리수 [math(q)]가 존재한다. 따라서, 전달원리에 의해 무한 초자연수 [math(N)]에 대하여, [math(r<q^{*}<r+\displaystyle\frac{1}{N})]을 만족하는 초무리수 [math(q^{*})]가 존재하는데, [math(\displaystyle\frac{1}{N})]은 0이 아닌 무한소이고, [math({\rm st}\left(f^{*}\left(r+\displaystyle\frac{1}{N}\right)\right)=1)], [math({\rm st}(f^{*}(q^{*}))=0)]이므로 [math(x\to r)]일 때, [math(f(x))]는 발산한다. === 위상 공간에서의 정의 === 두 [[위상 공간]] [math(\left(X, \mathcal{T}_X\right), \left(Y, \mathcal{T}_Y\right))] 사이에서 정의된 함수 [math(f:X\to Y)]의 극한은 다음과 같이 정의한다.( [math(a\in X, \,L\in Y)]) >[math(a)]가 [math(X)]의 극한점들의 집합 [math(\Omega)]의 원소이고 [math(Y)]는 하우스도르프 공간(Hausdorff space)[* 하우스도르프 공간이란 어떤 위상이 주어졌을 때, 이 위상에서 정의되는 집합이 있을 때, 그 집합에서 아무렇게나 두 원소를 골라도, 두 원소중 하나만을 포함하는 서로소인 열린집합을 항상 취할 수 있는 성질을 지닌 위상공간의 총칭이다. 다른 표현으로는 서로 다른 임의의 점은 반드시 서로소 근방을 취할 수 있다. 라고 할 수 있다. [math(T_2)]공간이라고도 한다.]일 때 [math( \displaystyle \lim_{x\to a}{f \left( x \right) } = L)]이라고 함은 [math(L)]의 임의의 근방(neighbourhood) [math(V)]에 대하여 [math(a)]의 빠진 근방(punctured neighbourhood) [math(U)]가 존재하여 [math(f\left(U\cap \Omega\right) \subseteq V)]가 성립하는 것이다. == 수렴과 발산 == * [[수렴]]: 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이라든지 여론 수렴 등등으로 해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 되었다는 의미로 사용한다. 즉 [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 [math(f\left(x\right))]도 어디로 한없이 가까워진다는 뜻. * [[발산]][* 똑같이 해석학에서 다루는 [[델(연산자)|발산 연산자]] [math(\nabla \cdot \mathbf{A})]와는 다르다.]: 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 즉, 어느 한 점으로도 모이지 않는다는 뜻. 함수값이 무한히 커지면, 양의 무한대로 발산, 함수값이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지면 음의 무한대로 발산이라 한다. > [math(\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty)] , [math(\displaystyle \lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty)] * 진동: 수열을 좌표평면에 표시하면 지그재그를 그리는 특징이 있다. 대표적으로 [math(y=\sin x)], [math(y=\cos x)], [math(x - \lfloor x \rfloor)] 등이 있다. 진동도 발산의 일종이다. 단, 값의 부호가 양과 음이 교대로 나타난다해서 반드시 진동(발산)인 것은 아니다. 예를 들어 등비수열 [math((-\frac{1}{2})^n)]의 경우, 양과 음의 값이 교대로 나타나지만 n이 무한대로 갈 때 절댓값이 점점 작아져서 0에 수렴한다. === [[점근선]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=점근선)] == 성질 == 고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학 [[해석학(수학)|해석학]]에서는 저걸 '''모두 다 증명한다.''' 공식의 증명은 엡실론-델타 논법을 이용해 스스로 해 보거나 대학 해석학 교재를 참고하자. 덤으로 이야기하자면, [[병리적 함수|모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 실수 함수]]가 존재한다.[* 물론 [[초등함수]]는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다. [[바이어슈트라스 함수]]라고 하며, 일반적으로 [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right))]라고 정의한다.[br](단, [math(0<a<1, ab\geq 1)])[br]이 함수는 [[프랙탈 이론|프랙탈]]의 자기복제 성질을 지니고 있기에 프랙탈 함수로 취급되며, 따라서 어떤 점이든지 아무리 확대해도 직선으로 근사시킬 수 없기에 미분계수가 존재하지 않는다.] 다변수 함수/다차원 공간 등으로 가면 개/폐구간의 정의, 경계의 정의 등도 엡실론-델타를 이용해 정의한다. 다만 더욱 깊히 들어가 위상공간에서 일반화하게 되면 엡실론과 델타를 버리고 대신 더욱 추상화된 "열린집합" 들을 이용해 모든 것을 새로 정의하게 된다 (아래 참조). 그러나 이 과정에서 엡실론-델타 논법과 근본적으로 동일한 논리가 사용되는 것은 마찬가지. [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha )], [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } = \beta )] ([math(\alpha, \beta )]는 실수)라고 한다면, 아래의 법칙들이 성립한다. * [math(\displaystyle \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } = \alpha' \right\} \Longleftrightarrow \left( \alpha' = \alpha \right) )][* 극한의 유일성] * [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ k } = k )] * [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ k f \left( x \right) \right\} } = k \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} = k \alpha )] * [math(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\left\{ f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\} =\left\{ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\right\} \pm\left\{ \lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)\right\} = \alpha \pm \beta)] * [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \left\{ f \left( x \right) g \left( x \right) \right\} } = \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } \right\} \left\{ \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } \right\} = \alpha \beta )] * [math(\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ \frac{ f \left( x \right) }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f \left( x \right) } }{ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ g \left( x \right) } } = \frac{ \alpha }{ \beta } \left( \beta \ne 0 \right) )] 참고로, 함수의 극한에 대한 성질은 극한값이 존재할 때만 성립한다. 또한, 이 성질은 우극한과 좌극한일 경우와 [math(x)]를 무한대로 보낸 경우에도 성립한다. == 조임 정리(squeeze theorem) == '''샌드위치 정리'''(Sandwich theorem)라고도 불린다. 왠지 장난 같은 이 용어가 실제로 학계에서 쓰이는지 알 수는 없으나 한국 학생, 교사들이 자의적으로 쓰는 [[콩글리쉬]]는 아니고 영미권에서도 쓰이는 용어이다. 일본에서는 협공의 원리(挟み撃ちの原理)[* 양쪽에서 쳐서 옥죄는 거니까 조임 정리와 조어 원리가 비슷하다.] 라고도 불린다. 함수 중에서 어떤 값에 의해 유계되며 진동하는 함수나 그러한 함수의 극한값을 직접 구하는 것은 힘들다. 하지만 그 함수와 같은 극한값을 가지는 두 함수 사이에 존재한다면 함수의 극한값을 구하는 것이 가능하다. 이것을 이용해서 그 유명한 [[삼각함수의 극한]]을 증명할 수 있다. 관심있는 위키러라면 한 번씩은 꼭해보는것을 추천한다.[* 증명과정은 간단하다 단위원을 그린 다음 접선에 속한 외부의 점, 접선에서의 접점, 원의중심을 각 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 그리고 어딘가에 선하나를 긋고 도형 3개 정도를 비교하면 된다. 쉬운 방법이므로 꼭해보자.] > 함수 [math( f, g, h )]가 [math( x \neq c )]인 점 [math( c )]를 포함하는 열린구간에 있는 모든 [math( x )]에 대하여 [math( g \left( x \right) \leq f \left( x \right) \leq h \left( x \right) )]이고 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ g \left( x \right) } = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ h \left( x \right) } = L)]이면, [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow c}{ f \left( x \right) } = L)]이다. === 예시 1 === * 알다시피 [math(\displaystyle \cos \left(\frac{1}{x}\right) )]은 [math( 1 )]보다 작고 진동한다. 그렇다면 [math( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} )]의 극한값을 구해 보자. * 모든 [math(x(\neq0))]에 대하여 [math(-1 \leq \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq 1)]이다. 또한 [math(x^2)]을 모든 식에 곱하여도 부등호의 변화가 없으므로 [math(-x^2 \leq x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2)]이다. [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{-x^2} = 0 = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2})]이므로 조임 정리에 의해 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{x^2 \cos \left(\frac{1}{x}\right)} = 0)]이다. == [[로피탈의 정리]](l'Hôpital's rule) == '''극강의 비기.'''[* 일명 '''대수능 최종병기''' . 그러나 너무 맹신하면 안된다. 로피탈을 썼다가 더 복잡해지는 문제도 있기 때문. ] 근데 이건 미분과도 관련이 있으니 [[미분]] 항목도 참조하면 좋다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]]