[include(틀:회원수정)] [[분류:산술]] [include(틀:다른 뜻1, other1=동명의 젤리피쉬엔터테인먼트 소속 걸그룹, rd1=구구단(아이돌))] [include(틀:이산수학·수리논리학)] ||<rowbgcolor=#ffcc33><tablebordercolor=#ffcc33><-10><:> '''{{{#009060 구구단표}}}''' || ||<rowbgcolor=#c0ffee,#666666> '''0단*''' || '''1단*''' || '''2단''' || '''3단''' || '''4단''' || '''5단''' || '''6단''' || '''7단''' || '''8단''' || '''9단''' || || 0×1=0 || 1×1=1 || 2×1=2 || 3×1=3 || 4×1=4 || 5×1=5 || 6×1=6 || 7×1=7 || 8×1=8 || 9×1=9 || || 0×2=0 || 1×2=2 || 2×2=4 || 3×2=6 || 4×2=8 || 5×2=10 || 6×2=12 || 7×2=14 || 8×2=16 || 9×2=18 || || 0×3=0 || 1×3=3 || 2×3=6 || 3×3=9 || 4×3=12 || 5×3=15 || 6×3=18 || 7×3=21 || 8×3=24 || 9×3=27 || || 0×4=0 || 1×4=4 || 2×4=8 || 3×4=12 || 4×4=16 || 5×4=20 || 6×4=24 || 7×4=28 || 8×4=32 || 9×4=36 || || 0×5=0 || 1×5=5 || 2×5=10 || 3×5=15 || 4×5=20 || 5×5=25 || 6×5=30 || 7×5=35 || 8×5=40 || 9×5=45 || || 0×6=0 || 1×6=6 || 2×6=12 || 3×6=18 || 4×6=24 || 5×6=30 || 6×6=36 || 7×6=42 || 8×6=48 || 9×6=54 || || 0×7=0 || 1×7=7 || 2×7=14 || 3×7=21 || 4×7=28 || 5×7=35 || 6×7=42 || 7×7=49 || 8×7=56 || 9×7=63 || || 0×8=0 || 1×8=8 || 2×8=16 || 3×8=24 || 4×8=32 || 5×8=40 || 6×8=48 || 7×8=56 || 8×8=64 || 9×8=72 || || 0×9=0 || 1×9=9 || 2×9=18 || 3×9=27 || 4×9=36 || 5×9=45 || 6×9=54 || 7×9=63 || 8×9=72 || 9×9=81 || ||<-10><bgcolor=#ffcc33> {{{#009060 * 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.}}} || [목차] == 개요 == '''{{{+1 九九段}}}''' 영문명은 Times Table(곱셈표). 기초적인 [[곱셈]]표로, 분배법칙, 지수법칙 등과 결합되어 곱셈 계산을 대단히 빠르게 한다.[* 너무 일상적으로 쓰는 것이라 모를 수도 있는데, [[망했어요|'''곱셈을 덧셈의 반복으로만 계산한다고 생각해보자.''']]] 구구법(九九法)이라고도 한다. 한국에서는 초등학교 2학년 2학기 [[수학(교과)|수학]][* 과거에는 산수.] 1단원에 '곱셈구구'라는 이름으로 나온다. 과거 어르신들의 증언에 따르면 자신들의 어린 시절에는 구구단을 못 외우면 나머지공부를 시켰다고 한다. 심지어 춘추 80이 넘었는데도 아직도 구구단을 일본어로 외우는 사람도 있을 정도이다. 이 경우는 [[일제 강점기]]에 학교를 다녔을 가능성이 높다. 당시에는 초등학교에서조차 [[일본어]] 상용을 강요하여 구구단도 일본어로 외우게 했기 때문. 소학교 출신들은 2~3학년, 간이학교 출신들은 1학년 때 배웠다.[* 일제 당시 [[간이학교]]는 2학년까지만 있었는데, 간이학교 산수 시간에는 1학년 1학기 때 기초적인 수 개념과 덧셈, 뺄셈 정도만, 1학년 2학기에서 곱셈과 나눗셈 등을 가르쳤기 때문. 1학년 3학기 때는 그 동안 배운 사칙연산을 활용하는 단계에 접어들고, 2학년 때는 반올림, 분수, 소수, 주산을 배웠다.] [[인간]]은 [[10진수]]를 사용하므로, 일반적으로 0부터 9까지의 숫자를 서로 곱하여 나오는 값들을 늘어놓은 목록이다. 다만 0단, 1단의 경우 0 × n = 0, 1 × n = n이므로 가장 쉬워서 열외하는 경우가 절대 다수다. 여기서 1은 곱셈에 대한 [[항등원]]임을 알 수 있다. 특유의 리듬에 맞추어 '오 사(는) 이십, 오 오는 이십 오'와 같이 외우는 게 보통. [[원숭이 엉덩이는 빨개]]와 같은 멜로디다. 인터넷을 찾아보면 구구단송 등이 있을 것이다. ||<rowbgcolor=#ffcc33><tablebordercolor=#ffcc33><-3> '''{{{#009060 논리곱}}}''' || ||<rowbgcolor=#c0ffee,#666666> '''∧''' || '''0''' || '''1''' || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''0''' || 0 || 0 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''1''' || 0 || 1 || [[컴퓨터]]의 경우, [[구구단]]은 '''[[논리 연산#s-2.2|논리곱]]'''에 대응한다. == 상세 == ||<rowbgcolor=#ffcc33><tablebordercolor=#ffcc33><-10><:> '''{{{#009060 십자식 구구단}}}''' || ||<rowbgcolor=#c0ffee,#666666> '''×''' || '''1''' || '''2''' || '''3''' || '''4''' || '''5''' || '''6''' || '''7''' || '''8''' || '''9''' || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''1''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''2''' || 2 || 4 || 6 || 8 || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''3''' || 3 || 6 || 9 || 12 || 15 || 18 || 21 || 24 || 27 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''4''' || 4 || 8 || 12 || 16 || 20 || 24 || 28 || 32 || 36 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''5''' || 5 || 10 || 15 || 20 || 25 || 30 || 35 || 40 || 45 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''6''' || 6 || 12 || 18 || 24 || 30 || 36 || 42 || 48 || 54 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''7''' || 7 || 14 || 21 || 28 || 35 || 42 || 49 || 56 || 63 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''8''' || 8 || 16 || 24 || 32 || 40 || 48 || 56 || 64 || 72 || ||<bgcolor=#c0ffee,#666666> '''9''' || 9 || 18 || 27 || 36 || 45 || 54 || 63 || 72 || 81 || 1단부터 9단까지 있다. 2단과 5단이 가장 외우기 쉽다. 2단은 짝수를 작은 순서대로 말하며 십의 자릿수를 올리면 되고 5단은 0과 5를 번갈아가면서 십의 자릿수를 올리면 되기 때문이다. 5단은 두 번 외칠 때마다 십의 자릿수가 올라가니 알아서 리듬을 타 보자. 9단은 09, 18, 27, 36과 같이 십의 자리가 증가한 만큼 일의 자리가 감소한다는 규칙성이 있기 때문에 쉬운 축이다. 9가 10 - 1이기 때문에 무조건 일의 자리가 1씩 빠진다. 8단은 십의 자릿수가 1씩 늘 때 일의 자릿수가 2씩 줄다가 일의 자리가 0이 되면 다시 같은 십의 자리부터 시작해 8부터 시작해서 2씩 내려가는 방식으로 외울 수 있다.(08, 16, 24, 32, 40) 9단에서의 방법을 비슷하게 적용할 수 있으나, 이걸로 외울 정도면 보통 구구단을 다 외우고 난 상태인 경우가 많다. 왜냐하면 2씩 떨어지는 일 자리수를 거꾸로 계산한다는 점 때문에 헷갈리기 십상이며, 40에서 한 번 쉬고 넘어간다는 점 때문에 중간에 흐름이 끊길 가능성이 있다. 그리고 7단까지는 7×6=42를 6×7=42에서 찾아 구하는 등 이전 및 이후 단에서 찾은 후 더하거나 빼는 식으로 교사의 물음에 빠르게 대답할 수 있으나, 8단의 경우 40까지의 계산 결과에 40씩이나 더한 값을 대답으로 요구하므로 올라가기는 벅차고 내려가기도 초등학교 2학년 치고 쉽지 않다. 이런 계륵 같은 상황에서 해당 단에서 아무거나 뽑아 무작위로 답하라는 물음에 '''8×8=64'''를 답하지 못할 가능성이 매우 높다. 7단과 함께 통째로 외우는 것이 편하며 구구단에서 가장 어려운 곳으로 꼽힌다. === 변형 구구단 === * 구구단 외우기를 이용한 "구구단을 외자"라는 [[게임]]이 있으며 의외로 바로 대답하려고 하면 쉽지 않을 수도 있다. 다만 변형 구구단이나 '''[[술 게임]]'''으로 한다면 나름 난이도 있는 게임이 된다. 그리고 [[무한도전]] 오호츠크해 편에서는 박명수가 이 게임의 난이도를 낮춘 "더하기를 하자"란 게임을 만들기도 했다. * 일본에서 구구단을 읽을 때는 변형된 독법이 많으니 주의해야 한다. 예컨대 3*3은 '사잔', 3*6은 '사부로쿠', 3*8은 '산파', 8*8은 '핫파' 등이다. 일본 [[망가]] 및 [[애니]]인 [[3X3 EYES]]를 읽을 때도 3X3은 "사잔"으로 읽으며, [[삼삼드래]]의 명칭이 저렇게 된 것도 원 명칭인 사잔도라(サザンドラ)가 구구단에서 유래했기 때문이다. --얘네는 달력 읽기도 그렇고 숫자를 활용하는 표현은 쓸데없이 복잡하다.-- ==== 가일구구/감일구구 ==== ||<rowbgcolor=#ffcc33><tablebordercolor=#ffcc33><-10><:> '''{{{#009060 [[加|가]]일구구}}}''' || ||<rowbgcolor=#c0ffee,#666666> '''0단*''' || '''1단*''' || '''2단''' || '''3단''' || '''4단''' || '''5단''' || '''6단''' || '''7단''' || '''8단''' || '''9단''' || || 0×1=1 || 1×1=2 || 2×1=3 || 3×1=4 || 4×1=5 || 5×1=6 || 6×1=7 || 7×1=8 || 8×1=9 || 9×1=10 || || 0×2=1 || 1×2=3 || 2×2=5 || 3×2=7 || 4×2=9 || 5×2=11 || 6×2=13 || 7×2=15 || 8×2=17 || 9×2=19 || || 0×3=1 || 1×3=4 || 2×3=7 || 3×3=10 || 4×3=13 || 5×3=16 || 6×3=19 || 7×3=22 || 8×3=25 || 9×3=28 || || 0×4=1 || 1×4=5 || 2×4=9 || 3×4=13 || 4×4=17 || 5×4=21 || 6×4=25 || 7×4=29 || 8×4=33 || 9×4=37 || || 0×5=1 || 1×5=6 || 2×5=11 || 3×5=16 || 4×5=21 || 5×5=26 || 6×5=31 || 7×5=36 || 8×5=41 || 9×5=46 || || 0×6=1 || 1×6=7 || 2×6=13 || 3×6=19 || 4×6=25 || 5×6=31 || 6×6=37 || 7×6=43 || 8×6=49 || 9×6=55 || || 0×7=1 || 1×7=8 || 2×7=15 || 3×7=22 || 4×7=29 || 5×7=36 || 6×7=43 || 7×7=50 || 8×7=57 || 9×7=64 || || 0×8=1 || 1×8=9 || 2×8=17 || 3×8=25 || 4×8=33 || 5×8=41 || 6×8=49 || 7×8=57 || 8×8=65 || 9×8=73 || || 0×9=1 || 1×9=10 || 2×9=19 || 3×9=28 || 4×9=37 || 5×9=46 || 6×9=55 || 7×9=64 || 8×9=73 || 9×9=82 || ||<-10><bgcolor=#ffcc33> {{{#009060 * 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.}}} || ||<rowbgcolor=#ffcc33><tablebordercolor=#ffcc33><-10><:> '''{{{#009060 [[減|감]]일구구}}}''' || ||<rowbgcolor=#c0ffee,#666666> '''0단*''' || '''1단*''' || '''2단''' || '''3단''' || '''4단''' || '''5단''' || '''6단''' || '''7단''' || '''8단''' || '''9단''' || || 0×1=-1 || 1×1=0 || 2×1=1 || 3×1=2 || 4×1=3 || 5×1=4 || 6×1=5 || 7×1=6 || 8×1=7 || 9×1=8 || || 0×2=-1 || 1×2=1 || 2×2=3 || 3×2=5 || 4×2=7 || 5×2=9 || 6×2=11 || 7×2=13 || 8×2=15 || 9×2=17 || || 0×3=-1 || 1×3=2 || 2×3=5 || 3×3=8 || 4×3=11 || 5×3=14 || 6×3=17 || 7×3=20 || 8×3=23 || 9×3=26 || || 0×4=-1 || 1×4=3 || 2×4=7 || 3×4=11 || 4×4=15 || 5×4=19 || 6×4=23 || 7×4=27 || 8×4=31 || 9×4=35 || || 0×5=-1 || 1×5=4 || 2×5=9 || 3×5=14 || 4×5=19 || 5×5=24 || 6×5=29 || 7×5=34 || 8×5=39 || 9×5=44 || || 0×6=-1 || 1×6=5 || 2×6=11 || 3×6=17 || 4×6=23 || 5×6=29 || 6×6=35 || 7×6=41 || 8×6=47 || 9×6=53 || || 0×7=-1 || 1×7=6 || 2×7=13 || 3×7=20 || 4×7=27 || 5×7=34 || 6×7=41 || 7×7=48 || 8×7=55 || 9×7=62 || || 0×8=-1 || 1×8=7 || 2×8=15 || 3×8=23 || 4×8=31 || 5×8=39 || 6×8=47 || 7×8=55 || 8×8=63 || 9×8=71 || || 0×9=-1 || 1×9=8 || 2×9=17 || 3×9=26 || 4×9=35 || 5×9=44 || 6×9=53 || 7×9=62 || 8×9=71 || 9×9=80 || ||<-10><bgcolor=#ffcc33> {{{#009060 * 규칙이 다른 단에 비해 현저하게 쉬우므로 구구단에 포함되지 않는다.}}} || 일반 구구단의 곱에 1을 더하거나 빼는 방식. 이 방식은 [[가족오락관]]에서 폭탄 게임 중 하나와 [[브레인 서바이버]] 로또 구구단 코너에도 쓰여졌다. 이 때는 구구단의 정답에 특정 수를 더하거나 빼는 형식. 그 중에서는 구구단 셈의 결과에 1을 더한 값을 외우는 가일구구가 유명하다. 구구단의 정답을 누적해서 더해나가는 방식으로 할 수도 있다. === 지수 === [[지수(수학)|지수]] 개념도 있으며 '''단마다 같은 수를 곱하는 부분이 있기 때문.''' 또한 2와 3 한정으로 세제곱 이상의 거듭제곱이 존재한다. --5도 고등학교에서 상용 로그 쓰다보면 외우지 않나-- --어차피 대학가면 다 ln만 쓰니까 몰라도 된다-- * 2×4 = 4×2 = 2×2×2 = 2^^3^^ * 2×8 = 4×4 = 8×2 = 2×2×2×2 = 2^^4^^ * 4×8 = 8×4 = 2×2×2×2×2 = 2^^5^^ * 8×8 = 2×2×2×2×2×2 = 2^^6^^ * 3×9 = 9×3 = 3×3×3 = 3^^3^^ * 9×9 = 3×3×3×3 = 3^^4^^ 이 성질을 알면 지수 연산이 한결 편해진다. ~~구구단에 없는 건 어쩌고~~ --고등학교 때 신나게 계산하게 되니 걱정하지 말자-- === 집합론 === 한편 좀 더 심화된 시각으로 보면 [[곱집합]]의 사상(Map)이라는 것을 알 수 있다. 이는 다음으로 표현 가능하다. > [math(({\mathbb Z}\cap[1, 9])^2 \mapsto {\mathbb Z})] 즉, [[정수]]의 [[순서쌍]](= [[격자점]])에서 정수로 가는 함수로 볼 수 있다. === [[프로그래밍 언어]]에서 구구단 출력 === [include(틀:상세 내용, 문서명=프로그래밍 언어/예제, 문단=2)] {{{#!syntax cpp #include <stdio.h> int main(void) { int i, j; for (i = 2; i <= 9; i++) { for (j = 1; j <= 9; j++) printf("%d × %d = %d\n", i, j, i * j); } return 0; } }}} 위 코드는 [[C언어]] 기준이다. 다른 언어의 예는 [[프로그래밍 언어/예제|문서]] 참조. == 기타 == * 최근 맹목적인 구구단 암기에 반대하는 견해들이 있다. 곱셈의 원리를 배우기 전에 구구단을 먼저 암기하는 것에 대한 반발이다. 실제로 유럽의 여러 국가에서는 구구단을 외우지 않거나 5단까지 외우는 경우도 많다. * [[미국]]에서는 12단[* 미국은 12진법을 많이 쓰는 나라다. 길이의 단위인 1foot(feet)도 12inch. 그리고 우리는 연필에만 적용하는 dozen을 자주 쓴다.]까지, [[인도]]에서는 19단까지, 심지어 24단까지도 외운다. 두 자릿수의 곱셈을 더 빠르게 할 수 있다나 뭐라나? 다만 평소에 10단 후부터 사용할 일은 거의 없다. 그냥 기존의 9단까지를 이용하면 되니까. 차라리 [[다항식]] [[곱셈공식]] 및 [[인수분해]]를 쓰는 게 낫다.[* 예를 들면 51×49의 경우, (50+1)(50-1)=50²-1²로 계산하는 것이 훨씬 빠르다. 물론, 해당 곱셈이 어떤 꼴의 다항식인가를 눈치챌 수 있어야 한다.] * 2000년대에 이미 [[대한민국]]에서도 초등학생 때 19단 외우기가 학부모와 사교육을 통해 권장되고 있었다. '19단송'이라는 노래까지 있었을 정도. 하지만 2010년대 들어서 19단 열풍은 시들해졌다. * 베다수학이라는 19단의 두 자리수 계산이 가능한 인도식 기법이 있다. (10+a) * (10+b) = (10+a+b)*10 + a*b로 계산하는 것.[* 예를 들어[br]19 * 19 =[br](19+9)*10 + 9*9 =[br]280 + 81 = 361[br]이 되는 것.] 익숙해지면 남들보다 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있다고 한다. 한데 우리나라에서 19단 열풍이 불 때는 정작 이 본질은 모르고 무작정 외우기만 더 시켜대는 바람에 아무런 의미도 얻지 못했다. * [[중국]]의 관리들이 [[평민]]이나 [[천민]]들이 알지 못하도록 일부러 어렵게 9단부터 거꾸로 외운 데서 구구단이라는 이름이 유래했다는 이야기도 있다. * 부여 쌍북리에서 발견된 6~7세기 백제에서 출토된 [[목간]]에서 한국 최초의 구구단표가 확인되었다. [[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3409189&cid=58413&categoryId=58413|#]] [[https://blog.naver.com/naverschool/221198690175|#]] 참고로 이 구구단표가 발굴되기 이전까지 중국에서 일본으로 전래되었다가 다시 거꾸로 한반도로 전래되었다는 가설이 2000년대 초반에 유행했었는데 이 유물이 발굴되면서 일본에서 전래되었다는 가설을 단번에 종식시켰다. * [[중국어]]로 구구단을 외울 때는 정답이 한 자리 수면 [[得]](얻을 득)이 붙고, 두 자리 수이면 안 붙는다. * 포병 부대에서는 포병숫자로 구구단도 시킨다. == 관련 문서 == * [[네이피어 계산봉]] - 구구단을 [[존 네이피어]]가 변형한 것이다. * [[사칙연산]] * [[조은정(강사)]] - 개념강좌 시리즈는 모두 구구단으로 시작한다.