Commutator [목차] == 개요 == 수학 및 물리학에서 사용되는 [[이항연산]] 기호 중 하나로, 보통 [[교환법칙]]이 '실패'하는 정도를 나타내는 양으로 생각된다. 분야에 따라서 정의와 개념이 서로 다르지만, 이런 류의 개념들이 다 그렇듯이 조금만 파고들면 모두 다 밀접하게 관련되어 있다. == 물리학에서의 교환자 == 물리학, 특히 양자역학에서의 교환자는 보통 두 '연산자' [math(A,B)]에 대해 정의되며, 나름의 물리학적 의미를 가진다. 반대/상보적인 개념으로 반교환자(anticommutator)가 있다. === 정의 === 교환자 연산은 [math( \left[ A, B \right] = AB - BA)] 로 정의한다. 반교환자 연산은 [math( \left\{ A, B \right\} = AB + BA )] 로 정의한다. 경우에 따라 교환자와 반교환자를 각각 [math( \left[ \ \ \right]_+ )] 와 [math( \left[ \ \ \right]_- )] 로 표현하기도 한다. (주로 둘을 한번에 [math( \left[ \ \ \right]_\pm )] 처럼 표기하는 ~~귀차니즘~~편의를 위해서이다.) 잘 보면 알겠지만, [[교환법칙]]이 성립되는 집합의 원소끼리 교환자를 계산하면 당연히 0이 나온다. 그렇다면 대체 이것을 어디에 써먹을 수 있을까? 잘 찾아보면 교환법칙이 성립하지 않는 많은 수학적인 대상, 또는 물리적인 [[연산자(물리학)|연산자]]들이 있다. 그 중 가장 잘 알려지고 직관적으로 명백한 예는 [[행렬#s-2]]이다.[* 사실 힐베르트 공간에 작용하는 물리적인 연산자들은 전부 행렬에 대응시킬 수 있다.] === 성질 === * [math( \left[ A, A \right] = 0 )] * [math( \left[ A , B \right] = - \left[ B, A \right] )] * [math( \left[ A + B, C \right] = \left[ A , C \right] + \left[ B, C \right] )] * [math( \left[ AB, C \right] = A[B, C] + [A, C]B )] * [math( \left[ A, BC \right] = \{A,B\}C - B\{A, C\} )] * [math( \displaystyle e^A B e^{-A} = B + [A, B] + {1 \over 2!} \left[A,[A, B] \right] + {1 \over 3!} \left[A, \left[A,[A, B] \right] \right] + \cdots )] 맨 아래 식은 Baker–Campbell–Hausdorff 공식의 일종이다. === 양자역학에서의 사용 === 물리학에서는 [[양자역학]]을 공식화해서 배우다 보면 무수한 연산자들을 쓰게 되고, 그것들 간의 교환자나 역교환자를 계산할 일이 많다. (물리의 연산자들은 일반 변수나 함수와 구별하기 위해 보통 [math( \hat{A} )] 와 같이 기호 위에 모자를 씌워 표현한다.) 애초에 양자역학 자체가 [math( [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar )] 로부터 출발하며, 양자역학의 한 공식화 방법인 하이젠베르크 운동방정식에선, 어떤 임의의 연산자 [math( \hat{A} )] 의 시간에 따른 진화를 교환자를 이용해 다음과 같이 계산한다. {{{+1 [math( \displaystyle {d \hat{A} \over dt} = {1 \over i\hbar} \ \left[ \hat{A}, \hat{H} \right] )] }}} [[양자장론]]에서는 서로 공액 관계에 있는 장들을 교환자 혹은 역교환자를 이용해 양자화시키는 [[이차양자화]] 통해 양자역학적인 다체문제를 기술하는 완전히 새로운 물리를 만들어 낸다. ~~헬게이트 오픈~~ 교환자를 사용하면 [[보손]]을, 역교환자를 사용하면 [[페르미온]]을 만들어낼 수 있다. == 수학에서의 교환자 == 분야마다 서로 다른 개념이 되므로 유의하자. 물론 모두 연관되어 있다. === [[군론]]에서 === 군 [math(G)]의 두 원소 [math(a,b)]의 교환자는 [math([a,b] = a b a^{-1}b^{-1})]로 정의된다. 유한군의 이론에서는 교환자 자체보다는 교환자들로 생성되는 군인 교환자 부분군(commutator subgroup) [math(G'=[G,G])]이 더 큰 의미를 가질 때가 많다. 이 [math(G')]는 군의 몫(quotient) [math(G/H)]이 [[가환군]]이 되게 하는 최소의 군이라고 해석될 수도 있다. 따라서 군을 가환군의 열로 분해할 때, 즉 solvable series 등을 생각할 때 중요하게 사용되는 개념이다. === 행렬에서 === 위처럼 [math([A,B]=AB-BA)]로 정의된다. 다만 [[선형대수학]] 자체에서 깊게 다루지는 않고, 아래의 리군의 경우에서 주로 사용하게 된다. 사실 무한차원 행렬을 수학에서 '엄밀하게' 정의하려면 함수해석학 등 대학원 과정 이상의 고급 이론이 필요하기 때문에 넘어가는 이유이기도 하다. 교환자의 성질은 무한차원과 유한차원일 때 매우 큰 차이가 있다. 유한차원에서 교환자의 [[주대각합]]은 항상 0이므로 교환자는 항등행렬이 될 수 없지만, 무한차원에서는 물리학의 예처럼 버젓이 [math( [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar )] 등등이 일어나고 있다. === [[미분기하학]]에서 === 여기서부터는 '''리 괄호''' 및 '''리 브라켓'''(Lie bracket) 이라는 이름으로 더 많이 불린다. 미분다양체 위의 벡터장 [math(X)]와 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(X)]에 대한 미분 [math(Xf)]를 [math(Xf(p) = df|_{p}(X(p)) )]로 정의할 수 있다. 따라서 벡터장과 1계 미분연산자 사이에 일대일 대응이 존재한다. 두 벡터장 혹은 1계 미분연산자 [math(X,Y)]가 있을 때, 두 연산자의 합성 [math(XY)]는 일반적으로 2계미분이므로 벡터장으로 쓸 수 없다. 하지만 흥미롭게도 [math(X(Yf)-Y(Xf))]를 계산하면 2계미분 항들이 모두 소거되면서 1계 미분연산자가 되는데, 이에 대응되는 연산자 혹은 벡터장을 교환자 혹은 리 괄호 [math([X,Y])]로 정의한다. === 리군(Lie group) 이론에서 === 보통 리 군(Lie group)은 주어진 벡터공간 위에 작용하는 [[선형사상]]의 연속군 [math(G)]를 말한다. (더욱 추상적인 정의를 생각할수도 있지만 생략한다.) 이 때 [math(G)]의 리 대수(Lie algebra) [math(\mathfrak{g} = \text{Lie}(G))]를 [math(G)]의 항등원에서의 접평면으로 생각하면 이는 행렬과 동일시될 수 있고, 행렬 지수 연산에 의해 [math(A \in \mathfrak{g} \leftrightarrow e^{A} \in G)]의 대응관계가 성립함도 보일 수 있다. [* 주의: 양자역학에서는 [math(A \in \mathfrak{g} \leftrightarrow e^{iA} \in G)]의 대응을 사용하므로 약간 관습이 다르다.] 이 때 [math(\mathfrak{g})]의 행렬 교환자는 [math(G)]의 군 교환자의 미분이 된다. 엄밀하게는 {{{+1 [math( \displaystyle [A,B] = \frac{ \partial^2}{\partial t \partial s} [e^{tA}, e^{sB}] )] }}} 가 성립. 좌변의 교환자는 군론에서의 교환자이고, 우변의 교환자는 행렬의 교환자이다. 한편 [math(\mathfrak{g})]를 [math(G)]에 불변인 1계 미분연산자들의 집합으로 생각하면, [[미분기하학]] 관점의 두 연산자의 리 브라켓과 위의 행렬 교환자도 동일하다는 것도 보일 수 있다. 결국 이 배경에서 모든 교환자의 개념들이 대통합되는 것이다. === 물리학과의 연관성 === 양자역학에서는 연산자를 [[행렬]]로 나타내는 것이 하이젠베르크 사고방식이고, 파동함수에 대한 미분연산자로 생각하는 것이 [[슈뢰딩거 방정식]]의 프레임이다. 따라서 [[행렬]]의 교환자, 미분연산자의 교환자로 각각 생각을 하면 된다. 물론 둘이 동치이므로 서로 이어질 수 있다. 수학의 교환자에 대한 다양한 사고방식을 오갈 수 있으면 물리학의 교환자에 대해서도 여러 고찰을 해볼 수 있다. 양자역학의 많은 경우에서 물리량에 대응되는 에르미트 연산자끼리 합성하면 별다른 의미가 없고, 교환자나 반교환자를 통해서만 물리량이 나오는 것을 많이 경험했을 것이다. 리 대수 관점에서 보면 이는 [math(\mathfrak{g})]가 행렬곱에 의해 닫혀 있지 않지만 리 브라켓에 대해서는 항상 닫혀 있는 것과 대응된다. 미분작용소 관점에서도 1계 미분작용소의 합성 자체는 2계까지 가야 설명이 가능한 것과 비슷하다. 한편 리군의 교환자 식에서 한 번만 미분을 하면 나오는 [math(e^{tA} B e^{-tA})]의 식은 [math(\mathfrak{g})]에 작용하는 [math(G)]의 일종의 '좌표변환'(엄밀히 adjoint action이라 부르는)이라 생각해 볼 수 있고, 따라서 교환자는 '좌표변환의 미분'으로도 해석할 수 있다. 하이젠베르크 프레임을 생각하면 [math([A,B])]를 연산자 [math(B)]가 좌표변환 [math(e^{tA})]에 따라 미세하게 어떻게 변하는지를 보는 것. === 성질 === 리 대수의 관점에서는 [math(\mathfrak{g})]가 곱에 대해 닫혀 있지 않으므로 연산자의 곱을 생각할 수 없다. 따라서 교환자의 본질적인 성질은 사실 다음 둘로 요약된다. * 반대칭 선형성 ([math([A,A]=0,)] [math([A,B+C]=[A,B]+[A,C])]) * 야코비 항등식 [math( [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0 )] [[분류:수학]][[분류:물리학]]