[include(틀:정수론)] [include(틀:약수의 합에 따른 자연수의 분류)] [목차] == 개요 == {{{+3 過剩數, Abundant number}}} 자연수 [math(n)]에 대하여, [math(n)]의 모든 [[약수(수학)#s-2|진약수]][* 자신을 제외한 모든 양의 약수]들의 합이 [math(n)]보다 크면 [math(n)]을 과잉수라고 한다. 즉, 약수의 합이 [math(2n)]보다 크면 과잉수인 것이다. [[약수 함수]](divisor function)를 이용해 나타내면 다음을 만족하는 자연수 [math(n)]을 말한다. [math(n<\sigma_1\left(n\right)-n)][* [math(\sigma_1\left(n\right))]은 [math(n)]의 모든 약수들의 합. 즉, n의 모든 약수의 합에서 n을 빼므로, 진약수의 합이다.] 또는 이 식을 변형하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. [math(2n<\sigma_1\left(n\right))] == 성질 == * [[소수(수론)|소수]]는 (진약수가 1밖에 없으므로) 모두 [[부족수]]이고[* 즉 2도 과잉수가 될 수 없다. 참고로 2의 경우에는 소수 중 유일한 짝수이며, 1은 소수에 해당되지 않는다.] 1도 (그야 당연히 진약수가 없으니까) 부족수이므로 과잉수는 모두 [[합성수]]다.('[[합성수]]는 모두 과잉수다.'는 거짓인데, 6과 28은 합성수이지만, 과잉수가 아니다. 또한 [[110]]같은 경우에는 합성수이지만, 부족수다.) * 가장 작은 과잉수는 [[12]]이며 가장 작은 홀수[* 물론 [[홀수]]와 소수는 다른 개념이다.]인 과잉수는 [[945]]이다[* 동시에 홀수의 첫 번째 반완전수이다.]. * 과잉수 중 진약수의 일부의 합이 자기자신과 같아지는 것은 [[반완전수]]이고[* 반완전수는 진약수의 합으로 표기될 수 있는 경우가 한두 가지 밖에 없는 것도 있지만, 대부분은 어떤 과잉수 자기자신과 동일하게 만드는 방법이 3가지 이상인 것도 많이 있다. 즉 괴짜수는 그러한 방법이 단 한 가지도 없는 과잉수이다.], 진약수의 일부를 더해도 자기자신을 나타낼 수 없으면 괴짜수이다. * 자기 자신을 제외한 [[완전수]], 과잉수의 [[배수(수학)|배수]]는 모두 과잉수이다. 그러므로 과잉수는 무한히 많다. 예를 들어 완전수인 6의 경우, [[6]]을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이다[* 6n(n은 2이상의 자연수)은 반드시 진약수로 1, n, 2n, 3n을 가지므로 이들의 합만 해도 이미 1+n+2n+3n=6n+1>6n이다.]. '''그리고 진약수들이 모두 [[부족수]]인 과잉수 즉 다른 과잉수 또는 완전수의 자기자신이 아닌 배수들로 표기될 수 없는 과잉수는 [[https://oeis.org/A071395|primitive abundant number]][* 원시 과잉수]라고 하며, 1000 이하의 수 중 딱 16개 존재한다.''' 원시 과잉수 역시 무한히 많다. 또한, 완전수까지 포함한다면 총 19개가 있다. 이들 중 17개는 (반)완전수이고, 나머지 둘([[70]], [[836]])은 괴짜수이다. 마찬가지로 어떤 [[반완전수]]의 진약수에 [[반완전수]]가 전혀 없어서 모두 부족수, 또는 괴짜수와 [[부족수]]이더라도 일부 진약수의 합이 자기자신이 되면 그 반완전수는 [[https://oeis.org/A306987|primitive semiperfect number]][* 원시 반완전수]이다. * 완전수 또는 과잉수 n의 약수(총 k개)를 각각 n,,1,,, n,,2,,, ..., n,,k,,라 하면 n은 완전수 또는 과잉수이므로 n,,1,,+n,,2,,+...+n,,k,,≥2n이다. m이 자연수일 때, 이들 각각에 m을 곱한 m×n,,1,,, m×n,,2,,, ..., m×n,,k,,는 mn의 약수이고 (m×n,,1,,)+(m×n,,2,,)+...+(m×n,,k,,)=m×(n,,1,,+n,,2,,+...+n,,k,,)≥2mn이다. m>1이면 이 외에 1도 약수이고, 1은 (m×n,,a,,)(a는 1≤a≤k인 자연수) 꼴로 나타낼 수 없으므로 mn의 모든 약수의 합은 최소 2mn+1로 2mn보다 크다. 따라서 m>1이거나, 즉 완전수 또는 과잉수의 2배, 3배, ...이거나 n이 과잉수이면 mn은 과잉수이며, 완전수인 경우는 완전수의 1배인 경우뿐이다. === 과잉수의 합과 차로 표현되는 정수 === 여기서 a, b는 2 이상의 자연수이다. * 20161보다 큰 모든 정수는 2개의 과잉수의 합으로 표현할 수 있다. 예를 들어 20163은 945+19218, 1575+18588, 2205+17958 등으로 나타낼 수 있다. * 6을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이므로, 6으로 나눈 나머지 r에 따라 n보다 크면 항상 2개의 과잉수의 합으로 표현할 수 있는 n이 서로 다르다. 다른 과잉수인 20, 56 등도 마찬가지이다. 또, 992 이상의 자연수는 2개 '''이상'''의 과잉수의 합으로 표현할 수 있다. * r=0이면 6의 배수이므로, 6a+6b 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 수인 24 이상이면 2개의 과잉수의 합으로 나타낼 수 있다. * r=1이면 945+40=985는 2개의 과잉수의 합으로 표현되지만 991, 997 등은 그렇지 않다. 마찬가지로 r=5이면 945+20=965는 2개의 과잉수의 합으로 표현되지만 971은 그렇지 않다.[* 후술하겠지만 977은 945+20+12로 나타낼 수 있다.] 따라서 r=1 또는 5인 경우 나머지 경우보다 n이 크다. 3개의 과잉수의 합으로는 r=1일 때 (945+40+6a 또는 945+20+20+6a)=997 이상[* a=2이면 997], r=5일 때 945+20+6b=977 이상[* b=2이면 977]이면 표현 가능하다. * r=2이면 20은 과잉수이므로, 20+6a 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 수인 32 이상이면 된다. * r=3이면 945는 과잉수이므로, 945+6a 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 수인 957 이상이면 된다. * r=4이면 40은 과잉수이므로, 40+6a 꼴로 나타낼 수 있는 최소의 수인 52 이상이면 된다. * 모든 정수는 두 과잉수의 차(두 과잉수 x, y에 대하여 x-y)로 표현될 수 있는데, 6으로 나눈 나머지가 1인 최소의 과잉수인 5391411025(X라 하자.)와 어떤 과잉수의 배수와 완전수의 2, 3, 4, ...배는 항상 과잉수라는 것을 이용하면 된다. 6으로 나눈 나머지가 r(r=0, 1, 2, 3, 4, 5)인 모든 정수는 다음과 같이 두 과잉수의 차로 나타낼 수 있다. 이를 절댓값 처리한 |x-y|에 대해서도 마찬가지로 하면 된다. * r=0 : 6a-6b 꼴에서 a, b에 적당한 자연수를 대입하면 된다. * r=1~5 : 아래 식을 이용한다. 큰 양수를 표현하려면 n을 크게, 절댓값이 큰 음수를 표현하려면 a를 크게 하면 된다. 꼭 아래 식을 이용하지 않더라도 표현할 수 있다. 예를 들어 34의 경우 6으로 나눈 나머지가 4이지만 54-20과 같이 40(3n+1)-6a 꼴이 아닌 형태로 표현할 수 있다. * r=1, 5 : 각각 (6n+1)X-6a, (6n+5)X-6a 꼴에서 a에 적당한 자연수를, n에 음이 아닌 적당한 정수를 대입한다. * r=2, 3, 4 : 각각 20(3n+1)-6a, 945(2n+1)-6a, 40(3n+1)-6a 꼴에서 a, n에 적당한 자연수를 대입한다. === 약수의 개수가 n인 과잉수 === 약수의 개수가 n인 과잉수는 n의 값에 따라서 존재하지 않을 수도, 유한히 존재할 수도, 무수히 많이 존재할 수도 있다. (여기서 a, b, c, d, e는 소수이고, a≠b, c>2, e>3이다.) * 약수가 1개인 자연수는 1이고 1은 부족수이다. 또, 약수가 소수 개인 과잉수는 소인수가 하나뿐이므로 존재하지 않는다. * 소인수가 하나뿐인 자연수는 a^^n-1^^의 꼴로 나타내어지고, 진약수의 합은 1+a+a^^2^^+...+a^^n-2^^<a^^n-1^^이므로 존재하지 않는다. * 따라서 약수가 1, 2, 3, 5개인 과잉수는 존재하지 않고, 약수가 4개인 과잉수는 [[소인수분해]] 형식이 a^^3^^이거나 (같은 특정 소수 a의 세제곱) a×b의 꼴인데 (단, 두 소수 a와 b는 반드시 서로 달라야 한다) , a×b 꼴의 진약수의 합은 1+a+b이고, 1+a+b>ab에서 ab-a-b+1=(a-1)(b-1)<2이다. 이를 만족시키는 서로 다른 소수 a, b는 존재하지 않는다. 따라서 약수가 4개인 과잉수가 존재하지 않으므로, 약수가 5개 이하인 과잉수는 존재하지 않는다. * 두 소수의 곱으로 나타나는 4 이상의 임의의 자연수 n에 대해, 약수의 개수가 n인 과잉수의 개수는 유한하다. 이들은 a^^c-1^^×b^^d-1^^의 꼴인데, 모두 짝수이다. d=2이면 a=2, b<2^^c^^-1이거나 a=3, b=2인 경우만 가능하다. * 홀수일 때, a와 b를 각각 3, 5라 하고 c와 d를 아무리 크게 해도 약수의 합은 자신의 [math( \frac{15}{8} )]배보다 작으므로 과잉수가 아니다. 실제로 약수의 합을 구해 보면 [math( (1+3+3^2+...+3^{c-1})(1+5+5^2+...+5^{d-1}) < 3^{c-1} \times 5^{d-1} \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{4})]이다. 마찬가지로 3 이상의 소수 a, 5 이상의 소수 b에 대하여 약수의 합은 자신의 [math( \frac{ab}{(a-1)(b-1)} )]배보다 작으므로 역시 과잉수가 아니다. * [math( d=2 )]일 때,[br][math( a=2 )]일 경우 약수의 합은 [math( (b+1)(2^c-1) )]이며, 과잉수의 조건에 의해 [math( (b+1)(2^c-1)>b \times 2^c )]이다. 이를 정리하면 [math( b<2^c-1 )]이다.[br][math( b=2 )]일 경우 약수의 합은 [math( \displaystyle 3 \times \frac{a^c-1}{a-1} )]이며, 과잉수의 조건에 의해 [math( \displaystyle 3 \times \frac{a^c-1}{a-1} >2 \times 2a^{c-1} )]이다. 이를 정리하면 [math( a^{c-1}(a-4)+3<0 )]이다. [math( a )]는 [math( 2 )]가 아닌 자연수이고 [math( c>2 )]이므로 [math( a=3 )]이다. * 이에 따라 약수의 개수가 c×d인 과잉수를 구해보면 다음과 같다. || c×d || 과잉수 || 개수 || || 6 || 12, 18, 20 || 3 || || 9 || 36, 100, 196 || 3 || || 10 || 48, 80, 112, 162, 176, 208, 272, 304, 368, 464 || 10 || || 14 || 192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, …, 7232 || 30 || || 15 || 144, 324, 400, 784, 1936, 2500, 2704, …, 15376 || 13 || || 21 || 576, 1600, 2916, 3136, 7744, 10816, …, 1032256 || 31 || || 22 || 3072, 5120, 7168, 11264, 13312, 17408, …, 2087936 || 309 || || 25 || 1296, 10000, 38416, 234256, …, 14776336 || 11 || || 26 || 12288, 20480, 28672, 45056, 53248, …, 33501184 || 1027 || * 3개 이상의 소수의 곱으로 나타나는 임의의 자연수 n에 대해, 약수의 개수가 n인 과잉수의 개수는 무한하다. 이는 6(=2×3)보다 큰 6의 배수는 모두 과잉수라는 점을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. * 약수가 3개의 소수의 곱으로 나타나는 자연수는 소인수가 3개 이하이며, 처음 두 소인수를 2와 3으로 두고 소인수를 하나 더 쓰는 순간 과잉수가 된다. 예를 들어 약수가 12(=2×2×3)개인 자연수는 2^^2^^×3×e, 2×3^^2^^×e 또는 2×3×e^^2^^이다. * 약수가 4개 이상의 소수 n개의 곱으로 나타나는 경우 그 중 (n-2)개를 하나로 묶어서 소인수가 3개인 것처럼 표현하고, 나머지 2개의 소인수를 2와 3이라고 하면 과잉수가 된다. 예를 들어 약수가 210(=2×3×5×7)개인 자연수의 경우 2와 3을 묶으면 210=6×5×7이므로 약수가 210개인 과잉수의 꼴로 e^^5^^×2^^4^^×3^^6^^을 들 수 있다. === 자연수 n과 서로소인 과잉수 === 임의의 자연수 n에 대해 n과 서로소인 과잉수는 무수히 많다. 다만 n을 적절히 잡는 순간 가장 작은 과잉수는 무시무시하게 커진다. 예를 들어 [[홀수|n = 2]]인 최소의 과잉수는 945이지만, n = 6[* 홀수이면서 3의 배수가 아닌 수]일 때는 5,391,411,025이고, n = 30[* 홀수이면서 3의 배수도 아니고 끝자리가 5가 아닌 수]일 때는 20,169,691,981,106,018,776,756,331이며, n = 210일 때는 무려 49,061,132,957,714,428,902,152,118,459,264,865,645,885,092,682,687,973이다. * 앞에서 언급한 6=2×3, 30=2×3×5, 210=2×3×5×7로, 가장 작은 [[소수(수론)|소수]]부터 각각 2, 3, 4개의 소수를 곱한 수이다. 즉 1~p번째로 작은 소수 p개와 서로소인 과잉수의 최솟값은 p가 커짐에 따라 무시무시하게 커지는 것이다. * 서로 다른 소수 p,,1,,, p,,2,,, ..., p,,k,,,의 곱 p,,1,,p,,2,,...p,,k,,의 약수의 합은 (1 + p,,1,,) × (1 + p,,2,,) × ... × (1 + p,,k,,)이며, 이는 p,,1,,p,,2,,...p,,k,,의 (1 + 1/p,,1,,) × (1 + 1/p,,2,,) × ... × (1 + 1/p,,k,,)배이다. 따라서 소인수가 p,,1,,, p,,2,,, ..., p,,k,,,인 임의의 자연수의 약수의 합은 그 자연수의 (1 + 1/p,,1,,) × (1 + 1/p,,2,,) × ... × (1 + 1/p,,k,,)배 이상이다. (1 + 1/p,,1,,) × (1 + 1/p,,2,,) × ... × (1 + 1/p,,k,,) ≥ 1 + 1/p,,1,, + 1/p,,2,, ... + 1/p,,k,,이고, 레온하르트 오일러가 증명한 소수의 역수의 합의 발산성에 의해 1 + 1/p,,1,, + 1/p,,2,, ... + 1/p,,k,, > 2를 만족하고, n의 소인수를 포함하지 않는 유한수열 {p,,k,,}이 항상 존재한다. 따라서 임의의 자연수 n에 대해 n과 서로소인 과잉수가 항상 존재하고, 과잉수가 존재하므로 그 개수는 무수히 많다. 자연수 n의 소인수를 p',,1,,, p',,2,,, ..., p',,m,,이라 하면 p,,1,, = p',,m + 1,,, p,,2,, = p',,m + 2,,, ..., p,,k,, = p',,m + k,,로 잡고, 소수의 개수가 무한하므로 이들의 역수의 합이 2를 넘도록 k를 충분히 크게 하면 된다. * 예를 들어 n=2의 경우, n의 소인수는 2뿐이므로 이어지는 소수인 3, 5, 7, ...의 곱의 약수의 합 (3 + 1) × (5 + 1) × (7 + 1) ×...이 이들의 곱인 3 × 5 × 7 ×...의 2배를 초과하는 지점을 구하면 되는데, 그 지점은 이어지는 소수의 최댓값이 13인 지점이다(약수의 합=32256, 소수의 곱의 2배=30030). 따라서 3 × 5 × 7 × 11 × 13 = 15015는 홀수인 과잉수이다. 하지만 실제로는 그보다 훨씬 작은 홀수 과잉수 945가 존재한다. === 과잉수의 비율 === 1부터 n까지의 과잉수의 개수를 표로 정리하면 다음과 같다. ||<tablebordercolor=#cc3366><rowbgcolor=#cc3366> '''{{{#dee448 n}}}''' || '''{{{#dee448 과잉수의 개수}}}''' || '''{{{#dee448 비율}}}''' || || 100 || 22 || 22% || || 200 || 46 || 23% || || 500 || 121 || 24.2% || || 1,000 || 246 || 24.6% || || 2,000 || 493 || 24.65% || || 5,000 || 1,239 || 24.78% || || 10,000 || 2,488 || 24.88% || || 20,000 || 4,953 || 24.77% || || 50,000 || 12,394 || 24.79% || || 100,000 || 24,795 || 24.80% || || 200,000 || 49,481 || 24.74% || || 500,000 || 123,779 || 24.756% || || 1,000,000 || 247,545 || 24.755% || || 2,000,000 || 495,036 || 24.752% || || 5,000,000 || 1,238,015 || 24.760% || || 10,000,000 || 2,476,737 || 24.767% || || 20,000,000 || 4,953,984 || 24.770% || || 50,000,000 || 12,382,841 || 24.766% || || 100,000,000 || 24,760,668 || 24.761% || 과잉수의 비율은 처음에 급격히 증가하다가 어느 순간 거의 늘어나지 않으면서 일정한 값에 수렴한다. 이 값은 0.2474 이상 0.2480 이하로 알려져 있다. 수가 커질 때 소인수가 많아지면서 과잉수의 비율도 크게 늘어날 것이라는 직관과 충돌하는 부분. 과잉수의 비율이 1/6 이하로 떨어지지 않음을 보이는 것은 쉬운데, 6을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수임을 이용하면 된다. 실제로 n = 24에서 과잉수의 비율이 최초로 1/6 이상이 된 이후로, n = 40에서 비율이 1/6을 초과하면서 더이상 1/6 이하로 떨어지지 않는다. 과잉수의 비율은 n = 7254에서 최대가 되며, 이후 비율은 수렴값을 기준으로 불규칙하게 진동한다. 극대와 극소를 기준으로 과잉수의 개수를 다시 정리하면 다음과 같다. ||<tablebordercolor=#cc3366><rowbgcolor=#cc3366> '''{{{#dee448 n}}}''' || '''{{{#dee448 과잉수의 개수}}}''' || '''{{{#dee448 비율}}}''' || || 7,254 || 1,810 || 24.952% || || 222,065 || 54,927 || 24.735% || || 16,880,388 || 4,181,307 || 24.770% || || 159,583,505 || 39,512,681 || 24.760% || == 기타 == * [[100]]보다 작은 과잉수는 [[12]], [[18]], [[20]], [[24]], [[30]], [[36]], [[40]], [[42]], [[48]], [[54]], [[56]], [[60]], [[66]], [[70]], [[72]], [[78]], [[80]], [[84]], [[88]], [[90]], [[96]]의 21개다. 또 100도 과잉수이므로 100 이하의 과잉수는 22개다. * 홀수인 과잉수를 작은 것부터 10개 나열하면 [[945]], [[1575]], [[2205]], [[2835]], [[3465]], [[4095]][* 메르센 수 M(12)=2^^12^^-1로, 메르센 수 중 첫 과잉수다.], [[4725]], [[5355]], [[5775]][* 처음으로 9의 배수가 아닌 홀수 과잉수], [[5985]]이며, 945부터 5355까지는 공차가 630인 등차수열[* 즉, [[315]]를 제외한 5355 이하의 모든 홀수 과잉수는 315의 배수이다.]을 이룬다. 홀수이면서 일의 자리가 5가 아니어서 5의 배수가 아닌, 다시 말해 10과 서로소인 최소의 과잉수는 81081(=3^^4^^×7×11×13, 약수의 합은 162624)로, 175번째로 작은 홀수 과잉수이다. 더 많은 예시는 [[https://oeis.org/A064001|이 수열]]을 참조. * 10^^n^^-1인 최초의 과잉수는 [[999999]]이며, 10과 서로소인 과잉수 중 26번째이다. (진약수의 합은 1042881) * [[레퓨닛 수|모든 자리수가 1]]인 최초의 과잉수는 111,111,111,111,111,111(R,,18,,)이며 진약수의 합은 121,854,250,714,995,689이다. [[분류:정수론]][[분류:수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]