[목차] [[기호]]: '''×''', '''[[⋅]]''', '''[[*]]''' [[한국어]]: 곱하기 [[한자어]]: 승산([[乘]][[算]]) [[영어]]: times(곱하기), multiply(곱하다), multiplication, product(곱셈)[* 계산을 할 때는 2 '''times''' 8 is sixteen 식으로 쓰지만, '나 학교에서 곱하기를 배웠어' 라고 할 때는 '''multiplication'''이라는 단어를 사용한다.] [[일본어]]: 掛け算(かけざん) == 개요 == 가장 잘 알려진 [[이항연산]]이자 [[사칙연산]]의 하나로, 어떤 수를 거듭해서 더하는 연산이다. 따라서 덧셈과 뺄셈을 배우고 나서 곱셈을 배우게 된다. 보통 초등학교 2학년 때 배우나, 과거 일제강점기 [[간이학교]]에서는 1학년 때 배우기도 했다.[* 1940년 발행된 간이학교 산수 교과서 1단원의 ‘前學年ノ復習’(현대 일본어로 쓰면 前学年の復習. 직역하면 ‘전 학년 내용 복습하기.) 단원에 곱하기 문제가 일부 수록돼 있다.] == 기호 == 항상 [math(+)]나 [math(-)]로 표기되는 덧셈/뺄셈과는 달리 '''다양한 기호'''를 사용하는 것이 특징이다. [[투명]] 기호(…)[* [[미분방정식]]에서는 경사를 뜻한다.]부터 시작해서 가장 기초 수준에서 배우는 ×[* [[벡터]]에서는 [[외적]], [[미분방정식]]에서는 회전을 나타낸다.], 중등 교육 과정에서 사용하는 [[⋅]][* [[벡터]]에서는 [[내적]], [[미분방정식]]에서는 발산을 나타낸다.], 두 [[벡터]]로 [[텐서]]를 만들 때 사용하는 ⊗, 컴퓨터에서 [[X]]와의 혼동을 피하기 위한 *[* 수학에서는 [[쌍대]], [[합성곱]], [[수반 연산자|켤레전치]] 등의 용도로 쓰인다.] 등등…. 초등학교에서 처음으로 배울 때 쓰이는 곱셈 기호 [math(\times)]는 윌리엄 오트레드가 [[산술]]의 원리를 논하기 위해 1631년에 쓴 책 <수학의 열쇠>에서 처음 쓰였다. 이 당시만 해도 곱셈은 매우 수준 높은 연산이어서 대학교에나 가서 배울 수 있던 지식이었는데, [math(\times)]의 도입으로 처음으로 곱하기를 추상화할 수 있게 된다. 여담이지만 원래 [math(+)]를 쓰려 했는데 이미 존재해서 '그래? 그럼 돌려!' 해서 나온 게 이 기호라는 속설이 있다. 이 책에서는 뺄셈에 ~ 기호를 사용했다. 또한 기호 ·는 동시대 수학자인 토마스 해리엇이 자주 썼으며, 후에 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠|라이프니츠]]가 본격적으로 채용한 뒤로 널리 퍼졌다고 한다.[* 해리엇은 또한 지수 기호, 부등호 역시 발명하고, [[갈릴레오 갈릴레이|갈릴레이]]와 독립적으로 [[흑점]]을 발견하는 등, 상당히 많은 일을 했던 사람이다. ] 투명 기호는 숫자와 문자, 문자끼리의 곱에서만 쓰인다. [[델(연산자)|델]]( [math( \nabla )] )에 투명 기호가 쓰인 것은 그래디언트라는 [[미분]] 연산으로 따로 정의한다. [[급수(수학)|급수]]의 곱하기는 [[Π|[math(\Pi)]]]를 쓴다. == 정의 == 초등학교에서 곱셈을 처음 배울 땐 덧셈의 반복 횟수로 배우는 것이 보통이다. [math(2+2+2=6)]에서 2가 3번 더해졌으니 [math(2×3=6)]으로 배우는 것. 하지만 이 개념으로 곱셈을 인지하고 있다가 [[수 체계]]의 범위가 넓어질 때, 즉 [math((-2)×(-3))]같은 음수 곱하기 음수나 분수 곱하기 분수 등으로 넓어지는 때에 조금씩 흔들리다가 [math((0.12)×(5.3))]같은 소수 곱하기 소수 등에 다다라서는 이해의 한계에 도달하는 게 보통이다. 0.12를 5.3번 더하는 게 도대체 무슨 뜻일까? 그러다가 아예 [math(π×e)]같은 일반적인 [[실수(수학)|실수]] 개념으로 넘어오면 그냥 덧셈의 확장으로 곱셈을 이해하는 쪽이 손해. 사실 실수와 실수간의 곱셈은 실수의 완비성이 엄밀하게 정의되어야 하는 등 기초작업이 많이 필요한 일이지만 [[고등학교]]에서는 "곱셈? 그거 그냥 두개 붙이면 되는 거 아닌가?" 하고 그러려니 하고 넘기며, 유리수같이 이런 개념으로 커버할 수 있는 부분이 되면 덧셈->곱셈 개념으로 잠깐씩 생각하는 게 보통. 하지만 그렇다고 덧셈에서 곱셈으로 생각하는 개념에 의미가 없다고는 못한다. 덧셈에서 곱셈으로 확장되듯이 곱셈도 "몇 번 곱해졌나"의 개념으로 지수로 확장될 수 있으며 실수/허수로 들어서면 이런 사고방식 또한 무뎌진다. 지수 역시 [[테트레이션]]이라는 상위의 연산으로 확장될 수 있고, 필요하다면 지수와 같은 방식으로 [[실수(수학)|실수]]같은 간극이 메워질 수 있다. 이것이 하이퍼 연산 개념으로, 수학적 합리성을 추구하기 위한 엄밀한 정의라는 개념을 벗어난 상당히 직관적인 과정이 수학적 사고에 미치는 영향을 엿볼 수 있다. 또한 반대 과정 역시 생각할 수 있다. 일례로 [[로가리듬|로그]]를 쓰면 곱셈을 덧셈으로 취급할 수 있다. 자세한 것은 [[로가리듬|로그]] 문서 참조. 대학에서 대수학을 추상적으로 배우기 시작하면서부터는 보통 * 군 구조에서 * 가환일 것. 이 두가지 조건을 만족하는 연산을 곱셈이라고 하는 경우가 많다. 실제로는 우리가 알고 있는 곱셈에서부터 파생되는 경우를 배우는 게 대부분이다. 하지만 이게 성립하지 않는 군도 있다. [[벡터]](의 [[외적]])와 [[행렬]]이 대표적인 예. 특히 벡터는 곱셈을 다양하게 정의하는데다 일반적인 "곱셈"과는 다른 양상을 보이는데, 이는 전신인 [[사원수]]가 그렇게 생겨먹었기 때문. [[기하학]]적으로는 [[유클리드 공간]]상에서 각 축에 평행한 선분으로 구성된 도형[* [[직사각형]], [[직육면체]] 등]의 [[측도]]를 구하는 연산으로 볼 수 있다. == 예제 == 곱셈구조는 상당히 다양하다. 그 중 대표적인 것은 다음과 같다. * 정수에서의 곱셈 * 실수, 복소수에서의 곱셈 * 벡터, 행렬에서의 곱셈([[내적]], [[외적]], [[행렬곱]], [[텐서곱]]) * [[지수]] * [[테트레이션]] * [[델(연산자)|기울기, 발산, 회전]] 이 중 첫번째는 (홀수)×(홀수) = (홀수), (홀수)×(짝수) = (짝수), (짝수)×(홀수) = (짝수), (짝수)×(짝수) = (짝수) 라는 대표적인 예제가 존재한다. 또한 (양수)×(양수) = (양수), (양수)×(음수) = (음수), (음수)×(양수) = (음수), '''(음수)×(음수) = (양수)''' 라는 성질머리도 존재한다. 이외에도 다음 성질이 있다. * 일반적으로[* [[사원수]], [[벡터]], [[행렬]] 등은 제외] [[교환법칙]]이 성립한다. 즉 [math( ab = ba )] . * 일반적으로[* 팔원수 등은 제외] [[결합법칙]]이 성립한다. 즉 [math( (ab)c = a(bc) )] . * [[분배법칙]]이 성립한다. 즉 [math( a (b + c) = ab + ac )] . * 일반적으로[* [[행렬]]은 항등원이 하나 더 존재한다. 자세한 것은 행렬 참조.] 항등원은 [[1]]이다. 즉 1을 아무리 곱하거나 나눠도 아무 변화가 없다는 것이다. 한편, 가환군인 경우 이를 이용한 특수한 계산 법칙이 있다. 여기에 대해서는 [[곱셈 공식]], [[인수분해]] 참조. == 곱셈의 역원 - [[나눗셈]] == 곱하는 것이 있다면 나누는 것도 있기 마련인데 이를 나눗셈이라고 한다. 초등교육 과정에서는 ÷이라는 기호를 쓰나, 그 정체는 다름아닌 [[분수(수학)|분수]]. 그래서인지 중등 교육과정부터는 아예 분수를 곱하는 것으로 나눗셈을 대체한다. 많은 컴퓨터 프로그래밍 언어에서는 나눗셈을 나타낼 때 ÷ 대신 /를 사용한다.[* ÷기호 자체가 기본 키보드로는 칠 수가 없는 문자이기도 하다.] 나눗셈을 할 때 주의할 것이, '''[[0]]으로 [[0으로 나누기|나눠서는 안 된다]]'''는 것이다. 0의 특성상 __0을 곱해서 0이 아닌 수가 나올 수가 없기 때문이다__.[* 0의 역원 1/0=[[무한대]]라는 오해가 있는데, 무한대는 실수 집합에 포함되지 않으므로 틀린 말이다. 무한대를 포함하는 확장된 실수에서는 [math(\infty^{-1} = 0)]이라고 정의하지만 [math(0 \cdot \infty)] 또는 [math(0^{-1})]의 값은 여전히 정의되지 않는다. 약간 어거지를 부려서 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{x} = 0)]의 역원이 [math(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}{\frac{1}{x}} = \infty)]라고 하면 말은 되겠지만 이것은 [math( \forall \epsilon > 0)]인 [math(0 + \epsilon)]의 역원을 묻는 문제이지 0의 역원을 묻는 문제가 아니다.] ~~[[https://www.youtube.com/watch?v=oIcevk665II|실제로 이짓을 하면 블랙홀이 생긴다.]]~~[* ~~잘보면 mass(질량)라 적혀있다.~~] 기타 자세한 내용은 [[나눗셈]] 문서를 참조. == 기타 == 개요에서 서술했듯이 곱셈 기호로 여러가지를 사용하고 하나의 식에서 그것이 혼용이 되어서 사용하기도 하기 때문에 간혹 논란이 발생하기도 한다. [[48÷2(9+3)]] 참고. 비슷하게 나눗셈이 포함된 식에 ÷과 /를 혼용할 경우도 키배가 벌어진다. [[http://parkoz.com/gf_usga|#]] 일명 ‘인도식 계산법’으로 알려진 [[https://www.metacafe.com/watch/296904/easy_graphical_multiplication_trick/|선을 이용한 계산법]]이 존재한다. 예를 들어 a와 b라는 숫자가 있다면, a를 가로방향, b를 세로방향으로 선을 긋되 자리수 별로 평행하게 그어, 둘에 교차점을 더하는 방식으로 답을 구하는 방식이다. 한국과 일본에선 흔히 ‘인도식' 계산법으로 알려져 있으나, [[카더라|이 계산법이 인도에서 처음 쓰였다는 명확한 자료는 존재하지 않는다.]] 오히려 서양에서는 '일본식' 곱셈 계산법(Japanese multiplication)으로 알려져 있으며, 이 밖에도 중국에서 쓰였다는 설이 존재하는 등, 이 계산법의 유래에 대해서는 알려지는 바가 없다. [[분류:산술]]