[[분류:해석학(수학)]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [목차] == 개요 == {{{+1 lattice point ・ [[格]][[子]][[點]]}}} [[좌표계]]에서, 좌표가 모두 정수인 점을 '''격자점'''이라고 한다. 격자점이 찍혀 있는 모습이 [[격자무늬]]를 닮아 붙은 이름이다. [[수직선]]에서는 [math(x)]좌표가, [[좌표평면]]에서는 [math(x)], [math(y)]좌표가, 좌표공간에서는 [math(x)], [math(y)], [math(z)]좌표가 정수인 점이다. 격자점을 [[꼭짓점]]으로 해서 [[초입방체]] 또는 [[정축체]]를 만들 수 있다. 일반적으로, [math(x_1)], [math(x_2)], [math(\cdots)], [math(x_n)]이 모두 정수이면, [math(n)]차원 공간의 점 [math((x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n))]은 격자점이다. 다음은 2차원 공간 중 [math(\{(x,\,y)|-4 \leq x \leq 4, \,-4\leq y \leq 4 \})]인 영역의 격자점을 나타낸 것이다. 여기서 [[복소평면|[math(x)]를 [math(\Re(z))], [math(y)]를 [math(\Im(z))]에 대응]]시키면 [[가우스 정수]]를 나타내는 격자점이 된다. [[파일:namu_격자점_NEW.svg|width=200&align=center&bgcolor=#ffffff]] 격자점의 [[집합]]은 보통 격자('''l'''attice)의 머릿글자에 대응하는 [[그리스 문자]] [[Λ|[math(\Lambda)]]](람다)로 표기한다. == 성질 == === 픽의 정리(Pick's theorem) === [include(틀:다각형)] [[오스트리아]]의 [[수학자]] 게오르크 알렉산더 픽(Georg Alexander Pick)이 발견하여 그의 이름을 딴 정리이다. 좌표평면에서, 격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 넓이를 [math(A)], 다각형 내부에 있는 격자점의 개수를 [math(I)], 다각형의 둘레에 있는 격자점의 개수를 [math(B)]라고 하면 다음 등식이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(A=I+\dfrac B2-1)]}}} 픽의 정리는 [[https://m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=yh6613&logNo=220950118152&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.co.kr%2F|2015학년도 아주대학교 자연계열(의대) 수리논술 문제]]에 등장하였다. == 활용 == === [[복소해석학]] === [[아이젠슈타인 정수]]로 이루어진 [[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eisenstein%27s_integer_numbers.svg|삼각형 격자점]] 등을 다룬다. 이외에도 [[바이어슈트라스 타원 함수]] [math(\wp)] 등 [[복소평면]] 위의 격자점과 관련된 함수가 있다. === [[현대대수학]] === 격자점을 가장 많이 쓰는 분야로, 주요 대상만 해도 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Semilattice|준격자]], [[https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_lattice|완비 격자]], [[https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)|순서 격자]] 등이 있다. ||<tablealign=center><#FFFFFF> [[파일:Lattice_of_partitions_of_an_order_4_set_redundant.svg]] || || 순서 격자의 예시 || === 고등학교 시험 === [include(틀:관련 문서, top1=최단거리)] 고등학교 모의고사나 수능에서는 그래프나 축으로 둘러싸인 도형 안의 '''격자점의 개수'''를 세는 문제가 종종 나온다. 더욱 업그레이드하여 '''각 점이 모두 격자점인 정사각형의 개수'''를 구하라는 경우도 있다. 기울기가 일정한 [[일차함수]]로 문제를 내면 너무 쉬우므로, 기울기가 일정하지 않은 [[이차함수]], [[유리함수]], [[무리함수]], [[로그함수]], [[지수함수]], [[원(도형)/방정식|원의 방정식]] 등을 문제로 내곤 한다. 그래프를 정확히 그려야 격자점의 개수도 정확히 셀 수 있으며, 정사각형의 개수를 구할 때는 가능한 정사각형의 모양까지 모두 따져야 한다. 이러다 보니 개중에는 너무 복잡하여 [[노가다(수학)|노가다]]에 가까운 문제들도 있다. 이런 유형은 부등식의 영역을 제대로 이해하는지, 경우에 따라서는 격자점의 개수를 수학적 표현으로 일반화할 줄 아는지, 경우를 분류하여 가능한 격자점의 개수를 효과적으로 구할 줄 아는지 물어보는 것이 출제 의도이다. 이런 점에서 격자점 세기 문제는 [[경우의 수]]를 구하는 문제이기도 한데, 함수의 그래프를 다룬다는 점을 더 중요하게 평가하여 [[확률과 통계]] 문제로는 분류하지 않는다. 2000년대~2010년대 초중반에는 복잡한 격자점 문제가 30번 등의 [[킬러 문제]]로 나오는 경우가 잦았지만 최근에는 출제 빈도가 시들한데, 킬러 문제보다는 그냥 간단한 수준으로 약간 등장하는 추세이다. ==== 킬러 문제 예시 ==== 아래 예시 말고도 그동안 상당히 많이 출제되었는데, 그중에서도 특히 정답률이 낮은 문제를 소개했다. 실제 관습에 따라 '''평가원 모의평가와 수능'''은 '''시행 연도보다 1년 늦은 연도'''로 표기하고, '''교육청 모의고사'''는 시행 연도를 '''그대로''' 표기하였다. ||<tablealign=center><#ffffff> [[파일:20139월나형30번.png|width=350]] || || '''2013학년도 고3 9월 나형 30번'''(정답률 '''15%''') || ||<tablealign=center><#ffffff> [[파일:2013 수능 나형 30번.png|width=350]] || || '''2013학년도 수능 나형 30번'''(정답률 '''13%''') || ||<tablealign=center><#ffffff> [[파일:2014 수능A형30번.png|width=350]] || || '''2014학년도 수능 A형 30번'''(정답률 '''14%''') || ||<tablealign=center><#ffffff> [[파일:2017년 7월 나형 30번.png|width=350]] || || '''2017학년도 7월 나형 30번'''(정답률 '''10%''') ||