[include(틀:다른 뜻1, other1=다른 뜻, rd1=각(동음이의어))] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == [[角]]. 평평한 면에서 면으로 급격히 꺾여 튀어나온 모퉁이. '각지다', '[[사각지대]]'(死角地帶), '[[사각턱]]' 등의 예가 있다. [[수학]]에서는 더욱 엄밀하게 정의되어 쓰인다. == 정의 == [[수학]]적으로는 [[반직선]]과 반직선이 맞붙었을 때 [[꼭짓점]] 안팎에서 생기는 공간으로 정의된다. 보통 [[기하학]]적으로 다루는 각은 [[60진법|육십분법]][* [math(1)]회전을 [math(360)]등분하고 [math(\degree)](도) 단위를 이용하여 [math(\dfrac1{360})]회전을 [math(1\degree)]로 정의하는 것.]을 기준으로 [math(0\degree \sim 360\degree)]까지이며, [math(360\degree)]가 넘어가면 다시 [math(0\degree)]부터 세어나간다고 보면 된다. 고등학교 과정에선 일반각이라는 이름으로 다시 정의하게 된다. ||고정되어 있는 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]와 같은 위치에 있던 반직선 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 점 [math(\mathrm O)]를 중심으로 회전하게 되면 각 [math(\angle\mathrm{POX})]가 생성되는데, 여기서 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 시초선, [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]를 [math(\angle\mathrm{POX})]의 동경이라 한다. 이때 동경 [math(\overrightarrow\mathrm{OP})]가 시초선 [math(\overrightarrow\mathrm{OX})]를 기준으로 회전하는 방향이 반시계 방향이면 양의 방향이라 하고, 시계 방향이면 음의 방향이라 부른다. || 이런 [[정의]]를 사용하는 이유는 중학교 수준에서 쓰는 정의만으로는 각의 범위가 한정되어있기 때문이다. 그래서 위와 같이 '''회전량'''이라는 새로운 방법으로 각을 정의하며, 이 정의에 따르면 음의 각과 [math(360\degree)]를 초과하는 각을 표현할 수 있다. 특히 [[삼각함수]]에서 음의 각이나 [math(360\degree)]를 넘어가는 각을 다루는데, 예를 들면 [math(30\degree)], [math(390\degree)], [math(-330\degree)] 등이다. 이를 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. ||[math(0\degree\le\theta_0\le360\degree)]인 각 [math(\theta_0)]와 정수 [math(n)]에 대하여[br][math(\theta=360\degree\times n+\theta_0)] || 복소함수론에서는 [[오일러의 공식]]을 통해 [[지수(수학)|지수]]와 [[삼각함수]]도 한꺼번에 재정의하면서 [[허수]]각을 정의할 수 있게 된다. == 단위 == * 참고: 아래 표에는 소숫점 이하 [math(5)]자리까지 구한 근사값을 기재하였다. || '''구분''' || '''호도법''' || '''육십분법''' || '''그레이드''' || || 호도법 || [math(\mathbf{1.00000\,rad})]|| [math(\dfrac{180\degree}\pi \fallingdotseq 57.29578\degree)]|| [math(\dfrac{200^\mathrm g}\pi \fallingdotseq 63.66198^\mathrm g)]|| || 육십분법 || [math(\dfrac\pi{180}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01745\,\mathrm{rad})]|| [math(\boldsymbol{1.00000\degree})]|| [math(\dfrac{1^\mathrm g}{0.9} \fallingdotseq 1.11111^\mathrm g)]|| || 그레이드 || [math(\dfrac\pi{200}\,\mathrm{rad} \fallingdotseq 0.01570\,\mathrm{rad})]|| [math(0.90000\degree)]|| [math(\mathbf{1.00000^g})]|| 각의 크기를 [[각도]](角度)라고 한다. 1회전의 값을 360으로 잡은 유래에 대해 명확한 자료는 남아있지 않으나 다음과 같은 설이 있다. * 페르시아력 같은 고대의 역법에서 1년을 360일로 잡았던 것에서 유래했다는 설 이 경우 별들은 북극성을 중심으로 1년에 1도씩 회전하게 되므로 천문 관측이 용이해진다. * 60진법을 썼던 바빌로니아인들이 정삼각형으로 원을 6등분하고 정삼각형의 한 내각을 60진법으로 나눠서 표현한 결과 1회전이 360도가 되었다는 설 이 시스템은 후에 그리스의 과학자 [[아리스타르코스]]와 [[히파르코스]]에게 채용되어 그리스의 천문학, 수학에 널리 퍼진 것으로 추정된다. 이 밖에도 인도의 [[리그베다 경전]]에는 1회전을 360등분하는 것에 대한 구절이 나오며, 수의 특성만 보더라도 360은 1과 360을 제외하고도 무려 '''22'''개에 달하는 많은 약수를 갖는다. 1~10까지의 수 중 360이 나눠떨어지지 않는 수는 7뿐이며 고대 나눗셈 계산에도 적당히 사용하기 편했던 수였음을 엿볼 수 있다. 육십분법에서 [math(0\degree)]와 [math(1\degree)] 사이의 각을 나타낼 때에는 다음 두 가지 방법이 쓰인다. * 시각 표기처럼 [math(')](분)과 [math('')](초)를 써서 표현하는 방법. [math(60''=1')]이고 [math(60'=1\degree)]이다. * 십진법 표기에 기반하여 오로지 [math(\degree)]만을 이용하여 나타내는 방법. 예를 들어 [math(314)]도 [math(15)]분 [math(9)]초는 [math(314\degree\,15'\,9'')][* 이는 위도와 경도를 더 정확히 표현할 때도 쓰이는데, 예시를 하나 들자면 [[행담도 휴게소]]는 북위 [math(36\degree\,56'\,32.3'')], 동경 [math(126\degree\,48'\,30.4'')] ([math(36\degree\,56'\,32.3''\,{\rm N}~126\degree\,48'\,30.4''\,{\rm E})])에 있다. [[https://www.google.co.kr/maps/place/36%C2%B056'32.3%22N+126%C2%B048'30.4%22E/@36.9484594,126.812143,14.5z/data=!4m5!3m4!1s0x0:0x0!8m2!3d36.942317!4d126.808449|#]] ]로 나타내며 십진법 표기로 나타내면 [math(\left(314+\dfrac{15}{60}+\dfrac9{3600}\right)\degree = 314.2525\degree)]이다. 참고로 [[국제표준화기구]]는 ISO 31에서 십진법 표기를 권장하고 있다. 십진법 표기에서 소수점 아래 자리를 분초 표기로 환산하려면 60을 곱해서 정수 부분을 덜어나가는 방식을 쓰면 된다. 앞선 [math(314.2525\degree)]를 예로 [math(1\degree = 60')], [math(1' = 60'')]이므로 [math(0.2525\degree = 0.2525\times1\degree = 0.2525\times60' = 15.15')]에서 정수 부분 15가 분의 값이며 [math(0.15' = 0.15\times1' = 0.15\times60'' = 9'')]에서 초의 값이 9가 된다. 같은 방식으로 [math(3.14\degree)]를 분초 표기로 환산하면 [math(3.14\degree = 3\degree + 0.14\times60' = 3\degree + 8.4' = 3\degree\,8' + 0.4\times60'' = 3\degree\,8'\,24'')]가 된다. [[부채꼴]]에서 호의 길이와 중심각의 크기가 정비례한다는 성질에 따라, 반지름에 대한 호의 비로 각을 나타내는 [[라디안|호도법]] 표기도 있다. 이 밖에도 직각을 [math(100)]등분한 것을 단위각으로 하는 그레이드([math(^{\rm g})])[* 영국에서는 '곤(gon)'이라고 읽는데, [[국제표준화기구|ISO]]가 비ISO 단위 리스트를 작성할 때 이 명칭을 채택했다. ISO 31-1 부록(Annex) B에 실려있다.]라는 단위도 있다. 즉 [math(1^{\rm g} = 0.9\degree = \dfrac\pi{200}\,{\rm rad})]이다. [[척관법]]에서는 딱히 각도라는 개념을 정의하지 않았던 것으로 보인다. [[구고현의 정리]]나 유씨구고술요도해 같이 [[특수각]] 비슷한 개념은 있었던 것 같지만. === 차원 === 호도법의 경우 단위[* '비에 무슨 단위가 있나?'하고 생각할 수 있지만 수학 외 분야에서는 매우 중요하다. [[퍼센트]] 역시 전체를 [math(100)]으로 놓았을 때의 비율을 나타낸 물리량으로 단위가 없지만 전체가 [math(100)]이라는 것을 나타내기 위해 [math(\%)]를 단위로서 붙여준다. 이를 전문용어로는 '[[차원#측정학]]이 없다'고 한다. 물리학에서는 [math(\rm rad)]이 진동수와 각진동수를 구분하기 위한 아주 중요한 단위로 쓰인다.]로는 [math(\rm rad)](라디안)을 쓰지만 어디까지나 '각'임을 명시하기 위한 것으로 수학 분야에서는 대부분 생략한다. 각도의 단위로 도([math(\degree)]), 라디안([math(\rm rad)]), 그레이드([math(^{\rm g})])[* 정식 명칭은 곤(gon)이다. ] 등이 있지만 이들은 모두 [[퍼센트]]와 마찬가지로 [[차원#측정학]]이 없으며, 본디 각도란 '회전'(turn)을 단위로하는 계에서 '1회전'에 대한 상댓값인데 '회전'이라는 단위는 '[[셈 측도|개수]]'처럼 이산적인 물리량으로 간주하기 때문에 [[무차원량|무차원(dimensionless)]]의 물리량으로 약속한다.[* 보통 이산적인 물리량([[셈 측도]])은 독립체(entity)로서의 성질이 분명하여 별도의 도구 없이도 셀 수 있기 때문에 차원을 부여하지 않는다. 각도의 경우는 단위가 이산적일 뿐 연속량(continuous quantity)적인 특징을 지녀 별도의 도구를 이용하여 측정해야하며, 이에 따라 연속량인데 차원이 없는 독특한 성질을 지닌다. 이와는 성질이 정반대인 것이 [[몰(단위)|몰]]을 단위로 하는 물질량(amount of substance)인데, 물질량은 정의에 따르면 '입자의 개수'를 의미하므로 이산적이지만 물질의 입자가 워낙에 작아 일상적으로 쓰기에 그 수가 너무 커 연속량으로 간주하여 [math(\sf N)]의 차원을 갖는 물리량으로 약속되어있다.] 이를테면 직각, 즉 [math(\rm 90\degree = \dfrac\tau4\,rad = \dfrac\pi2\,rad = 100^g)]라는 것은 곧 '[math(\dfrac14)]회전'과 같고[* '회전'을 단위로 했을 때의 값과 [math(\tau)]를 썼을 때의 값이 일치하기 때문에 일부 물리학자들은 원주율을 나타내는 상수로 [math(\pi)]를 폐지하고 [math(\tau = 2\pi)]를 써야한다고 주장하기도 한다. [[새 원주율]] 참조.] 각도가 무차원의 물리량이라는 것을 보다 엄밀하게 보여주는 개념이 바로 [[호도법]]이며, 도와 그레이드는 호도법의 값에 각각 [math(\dfrac{180\degree}\pi)], [math(\rm \dfrac{200^g}\pi)]를 곱한 것으로 이해할 수 있다. == 이름이 붙은 각 == 각도의 범위에 따라 다음과 같은 명칭이 있다. || '''각 ([math(\boldsymbol\theta)])''' ||<-2> '''명칭''' || || [math(0\degree<\theta<90\degree)] ||<|3> 철각(凸角)[br]열각(劣角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 작은 쪽의 각] || 예각(銳角) || || [math(\theta=90\degree)] || 직각(直角) || || [math(90\degree<\theta<180\degree)] || 둔각(鈍角) || || [math(\theta=180\degree)] ||<-2> 평각(平角) || || [math(180\degree<\theta<360\degree)] ||<-2> 요각(凹角)[br]우각(優角)[* 두 직선이 교차하여 생기는 각 중 큰 쪽의 각] || || [math(\theta=360\degree)] ||<-2> 주각(周角) || === [[특수각]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=특수각)] [[직각]]처럼 중요성이 높은 각을 특수각이라고 한다. 문서 참고. == [[입체각]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=입체각)] 각을 [[3차원]]으로 확장한 것. 자세한 내용은 문서 참조. == 여담 == 주로 변수로서의 각을 표시할 때는 [[그리스 문자]]를 사용하고[* 그 중에서도 [[세타]]([math(\theta)])가 [[필수요소]]급으로 많이 쓰인다.], 도형의 꼭짓점으로서의 각은 [[로마자]] 대문자를 사용한다. 각의 크기를 재는 도구를 [[각도기]]라고 한다. 중학교 교육과정까진 쓸 만하지만 고등학교 이상의 과정에선 쓸 일이 거의 없다. 실험할 때 각도 측정하기 위해서 쓰긴 하는데, 대학교에 가면 성능이 우월한 컴퓨터로 측정하며 제도할 때는 삼각자를 이용해서 쓴다. == 특수한 용법 == === 군대에서 === [[파일:external/pds14.egloos.com/a0109941_498af0542b552.jpg]] 잡기를 똑바로 정리하는 것부터 집합 시 바른 자세로 서 있는 것까지 다양한 각잡기가 존재한다. 순탄한 군생활을 위해서는 각을 잘 잡아야 한다. 그렇지 않으면 [[갈굼]]의 대상이 되기도 하며 간부들의 경우 진급에까지 영향이 갈 수 있다. --걷는 것도 직각! [[직각식사|밥 먹는 것도 직각]]! 옷주름도 직각! [[자폭|박격포 쏘는 것도, 수류탄 던지는 것도 직각!]]-- === [[각(유행어)|유행어]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=각(유행어))] 대개 [[접미사]]처럼 쓰인다. == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[라디안]] [[분류:한자어]]