[include(틀:다른 뜻1, other1=가우스 '정리(Theorem)', rd1=발산 정리)] [include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Gauss' law'''}}} 고등학교 물리를 배우다가 [[일반물리학]]에서 [[전자기학]]을 배우게 되면서 가장 먼저 고등 물리에서 배우는 [[전자기학]]과의 차이점 중 하나이다. 닫힌(closed) 가우스 면(Gaussian surface)[* 전자기학에서 폐곡면(closed surface)을 달리 이르는 말이다. 폐곡면이란 '내부 공간과 외부 공간을 분리하며, 이 표면을 지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없게 하는 표면'을 뜻한다.]을 임의로 잡았을 때, 가우스 면을 통과하는 전기선속(electric flux) [math( \displaystyle F)]는 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle F \equiv \oiint{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \dfrac{ q_{\textrm{enc} } }{ \varepsilon_{0} } )] }}} 여기서 [math( q_{\textrm{enc} })](혹은 [math(q_{\text{in}})])은 가우스 면 '''안(in)'''에 든 총 전하량이고, [math( \varepsilon_{0} )]은 진공에서의 [[유전율]](permittivity)이다. 적분 내 항을 살펴보면, [math( \mathbf{E} )]은 전기장이고, [math( \mathrm{d} \mathbf{a} )]은 가우스 면에 수직하고 면적이 [math( \mathrm{d}a )]인 면적소 벡터이다. 면적소 벡터의 방향은 어떤 면적소의 영역에 수직하다. 즉, 가우스 면을 통과하는 전기선속은 가우스 면 안에 든 전하의 양에 비례한다는 것을 알 수 있다. == 상세 == 가장 간단하고 쉬운 설명은 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속(electric flux)에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.[* 물론 총 전기선속이 0이라 해서 그 공간의 전기장이 0인 것은 아니다. 전기 쌍극자만 봐도 알 수 있는 것] 프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다.[* 이것을 설명하는 이론이 바로 장 이론. 전자기학에서는 원천전하로부터 전기장이 발생해 이 전기장이 다른 전하에 힘을 주게 된다는 것이다. 쿨롱의 힘에서 힘이 가해지는 전하의 전하를 나누고 식을 봤을 때 거리 제곱의 역수에 비례하는 것으로 직관적으로 알 수 있다. 자세한 것은 [[전기장]] 참고] 이 전기장에 면적을 곱한 것[* 정확히 말하면 면적벡터에 내적한 것]이 전기선속[* 전기장을 미소면적에 대해 내적한 값이 미소 전기선속이므로 이것을 적분한 값이 전확인 그 면적에 해당하는 전기선속 값이다.]이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기선속 값이라는 것이다.[* 물론 진공 속이 아닌 경우 유도전하가 생기므로 두 개의 경우로 나타낼 수 있게 된다.] == 증명 == 어떤 부피 영역 [math(V)]를 감싸는 폐곡면 [math(S)]를 고려하도록 하자. 또한 아래 그림과 같이 [math(S)] 내부에 미소 전하 [math(\mathrm{d}q)]가 있다고 해보자. [[파일:new_나무_가우스_증명_1_수정.png|width=100&align=center]] 이제 우리는 이 미소 전하에 의한 [math(S)] 위의 미소 전기력 선속 [math(\mathrm{d}F)]를 구하고자 한다. 구하는 전기력 선속은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{d}F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} )] }}} [math(\mathbf{E})]는 미소 전하에 의한 [math(S)] 위의 미소 넓이 영역 [math(\mathrm{d}a)] 위에서의 전기장임에 유의한다. 이때, [[전기장]] 문서의 내용과 [[분리 벡터]] [math(\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'})]의 표현을 빌리면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi}} }{\xi^{2}} )] }}} 이고, [math(\mathrm{d}q)]는 [math(S)]에 대한 적분과 무관하므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 그런데, 적분항은 [[입체각]] 문서를 참고하면, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 [math(S)]의 입체각이다. 그런데 해당 기준점은 폐곡면 내부에 있으므로 적분의 값은 [math(4 \pi)]가 된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )] }}} 따라서 총 전하에 대한 선속은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F=\iiint_{V} \frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} )] }}} 이 된다. 미소 전하가 폐곡면 내에 있는 경우에 대해서만 논의하기 때문에 [math(\mathrm{d}q)]를 [math(V)]에 대한 적분을 하면, [math(S)]안에 든 전하량 [math(q_{\text{enc}})]로 나옴에 유의해야 한다. 그렇다면, 아래의 그림과 같이 미소 전하가 폐곡면 [math(S)] 외부에 있으면 어떻게 될까? [[파일:new_나무_가우스_증명_2_수정.png|width=130&align=center]] 이 경우에도 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{d}F=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \cdot \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} )] }}} 가 될 것이다. 그러나, 적분 항은 위에서도 언급했듯, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 [math(S)]의 입체각이었으며, 기준점이 폐곡면 외부에 있기 때문에 이 폐곡면에 대한 입체각은 0이다.[* 설명이 필요하다면, [[입체각]] 문서를 보라.] 따라서 폐곡면 외부에 미소 전하는 선속에 기여하지 못하게 된다는 것을 알 수 있다. 이에 따라 가우스 법칙은 아래와 같은 결론을 주게 되고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F=\oiint_{S}\mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} )] }}} 이 선속 자체는 위 결과에 따라 [math(S)] 안에 든 전하들에 의해서만 기여되므로 [math(q_{\text{enc}})]는 [math(S)] 안에 든 전하량이어야 함을 얻는다. === 미분형 === 계속해서 가우스 법칙의 미분형을 유도하자. [[발산 정리]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} )] }}} 로 바꿀 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \oiint_{S}{\frac{\hat{\boldsymbol{\xi}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}{{{\xi} }^{2}}} \iiint_{V}{\,\mathrm{d}q} )] }}} 에서 [math( S )]에 대한 적분은 폐곡면 내부에 대한 입체각 적분이어서 그 값은 [math( 4\pi )]로 주어지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \cdot \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )] }}} 이 된다. 따라서 결과를 종합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )] }}} 전하밀도(charge density) [math( \rho \equiv \mathrm{d}q/\mathrm{d}V )]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathrm{d}q = \rho \, \mathrm{d}V )] }}} 로 바꿀 수 있고, 적분에 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,\mathrm{d}V )] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0} )] }}} 를 얻을 수 있다. 이 결과를 물리적으로 해석해보면, 전기장의 원천은 전하임을 알 수 있다. 가우스 법칙은 [[맥스웰 방정식]]의 첫 번째 식이며, 자세한 사항은 [[맥스웰 방정식]]을 참조하기 바란다. == [[가우스 법칙/대표 예제|대표 예제]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=가우스 법칙/대표 예제)] == 물질에서의 가우스 법칙 == [include(틀:상세 내용, 문서명=전기 변위장, 문단=2.3)] == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[전자기학]] * [[전기장]] * [[전기 퍼텐셜]] [[분류:물리학]][[분류:전자기학]]