[include(틀:다른 뜻1, other1=그리스 신화에 나오는 스파르타의 왕, rd1=메넬라오스)] [include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == 고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스(Μενέλαος, Menelaos : 서기 70년경~140년)가 증명한 정리. 메넬라오스의 라틴어화된 이름을 따라서 메넬라우스(Menelaus)의 정리라고도 한다. [[대한수학회]]에서는 '''메카토 정리'''로 번역되어있으나 이는 오류이다.[* Menelaus’ theorem 메카토(의) 정리, Mercator projection 메카토 사영, oblique Mercator projection 메카토의 비스듬한 사영도법으로 번역되어있는 것만 봐도, 뒤의 2개는 게라르두스 메르카토르의 이름을 딴 것으로 수학이라기 보다는 지리학 용어로, 메르카토르 도법으로 널리 쓰이니까 논외로 하고, oblique Mercator projection도 지리학계의 표기례에 맞추어야 한다. 앞의 것이 바로 문제가 되는 부분인데 이 정리와 메르카토르, 메카토로 적힐 수 있는 학자는 관계가 없기 때문에, 이것은 명백하게 착오로 잘못 들어간 것이다.] 중학교 과정만으로 충분히 증명이 가능하고, 정리가 복잡해보이지만 의외로 쓰이는 경우가 '''상당히''' 많아 영재학교에서 [[삼각형]]이 여러 개 겹쳐 있는 문제가 나왔다 하면 꼭 한 번씩은 쓰게 되는 정리이다. == 요약 == [[파일:메넬라우스의 정리.png]] [* 사진 출처: 위키피디아] 주어진 [math(\triangle ABC)]에서 꼭짓점이 아닌 점 [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 각각 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})], [math(\overline{AB})] 위에 있다고 하자. 이때, [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 한 직선 위의 점이면 [math(\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}\times\frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}\times\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}=1)]가 성립한다. 단, 직선이 반드시 그림처럼 [[삼각형]]을 횡단하지 않아도 상관없다. 원래는 [math(\frac{CD}{DB}\times\frac{BF}{FA}\times\frac{AE}{EC}=1)]로 표현하는 것이 정확하다. 여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다. 또한, 메넬라오스 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로 위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다. 더 일반적인 형태를 소개하자면, [math(\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}} \times \frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}} \times \frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}} = -1,)] 에서 볼 수 있듯이, 선분 자체에 방향성을 부여해서 우변을 음수로 두는 꼴이다. === 증명 === [[파일:attachment/untitled_6.png]] 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 [math(X)],[math(Y)], [math(Z)]라고 할때 삼각형 [math(\triangle PZC)]와 [math(\triangle PYB)]가 닮음이므로 [math(\frac{\overline{BP}}{\overline{CP}}=\frac{\overline{BY}}{\overline{CZ}})]이다. 삼각형 [math(\triangle QCZ)]와 [math(\triangle QAX)]가 닮음이므로[math(\frac{\overline{CQ}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{CZ}}{\overline{AX}})]이다. 삼각형 [math(\triangle RXA)]와 [math(\triangle RYB)]가 닮음이므로 [math(\frac{\overline{AR}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{BY}})]이다. 변변 곱하면 '''증명 끝.''' == 역정리 == 이 정리의 역도 성립한다. 즉, [math( \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 )]가 성립하면 [math(P)], [math(Q)], [math(R)]는 공선점이다. 증명은 동일한 방법으로 하면 된다. [[파일:puOa5tL.png]] [math(\overline{QR})]의 연장선의 교점과 [math(\overline{BC})] 의 교점을 [math(P')]이라 한 후, [math(P)]와 [math(P')]가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 [math(P', Q, R)]이 공선점이므로, [math( \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 )]가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 [math( \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 )]도 성립하므로, [math(\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}} = \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}})]여야 한다. 이제, [math(\overline{BC} = a)], [math(\overline{CP'} = b)], [math(\overline{P'P} = x)]로 놓고 간단한 계산을 하면 [math(x=0)]임을 알 수 있다. 따라서 [math(P)]와 [math(P')]는 같은 점이므로, [math(P, Q, R)]는 공선점이다. == 일반화 == [[파일:JUze4Yk.png]] 알아두면 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라오스 정리는 [math( \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} )]와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다. 1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야 한다. 즉 [math( \frac{\overline{QR}}{\overline{AQ}})] 같은 건 [math(A, Q, R)]가 공선점이 아니므로 안 되고 [math( \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}})] 같은 건 된다는 뜻. 2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[* 여기서 '시작점'과 '끝점'을 엄밀히 정의할 수는 있지만 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가기로 한다. [math( \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}})]에서는 [math(A)]가 '시작점'이고 [math(C)]가 '끝점'이다.] 즉 메넬라오스 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 [math( \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}} )] 같은 건 첫 항의 끝점이 [math(B)]인데 다음 항의 시작점이 [math(C)]이므로 안 된다. 3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 [math( \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{AQ}}{\overline{CA}} )] 같은 것은 [math(A)]로 시작해서 [math(Q)]로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다. 위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라오스 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다. 즉, [math( \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{CP}}{\overline{BC}}\times\frac{\overline{RQ}}{\overline{PR}}\times\frac{\overline{AC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{BR}} )] 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 [math(R, Q, C)]같은 점이어도 상관 없다! 실제로 메넬라오스 정리의 [math( \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} )] 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다. 증명은 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 [[노가다]]를 필요로 한다. == 관련 문서 == * [[체바 정리]] * [[데자르그 정리]] * [[파스칼 정리]] [각주] [[분류:삼각형]]