[include(틀:기하학·위상수학)] [[파일:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg]] Mandelbrot set [[http://guciek.github.io/web_mandelbrot.html|보러 가기]][* 화면상의 어떤 점을 누르면 그 점을 중심으로 확대되고, 좌우 모서리를 누르면 축소된다.] [목차] == 개요 == 브누아 망델브로(Benoît B. Mandelbrot)가 고안한 [[프랙탈 이론|프랙탈]]의 일종으로, 다음과 같은 [[점화식]]으로 표현되는 수열 [math(\{z_n\})]의 절대값이 무한대로 발산하지 않는[* 진동하는 것은 허용한다.] [[복소수]] c의 집합으로 정의된다. [math( \begin{aligned} z_0 &= 0 \\ z_{n+1} &=z_n^2+c \end{aligned} )] 예를 들어 [math(c=1)]이라면 수열 [math(\{z_n\})]은 [math(0, 1, 2, 5, 26,\;...)]이고 [math(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left| z_n \right| = \infty )]이므로 1은 망델브로 집합에 포함되지 않는다. 한편 [math(c=-1)]이라면 [math(\{z_n\})]은 [math(0, -1, 0, -1, 0,\;...)]이고 음이 아닌 모든 정수 [math(n)]에 대해 [math(\left| z_n \right| \leq 1 )]이므로 -1은 망델브로 집합에 포함된다. 이런 c의 집합을 [[복소평면]]에 나타내면 위와 같은 도형이 나타난다. == 그리기 == 실제로 망델브로 집합을 그릴 때는 실제로 무한한 항까지 계산하여 발산 여부를 확인하는 것이 어려우므로 '어떤 [math(n)]에 대해 [math(\left| z_n \right|>2)]일 경우 [math(\{z_n\})]은 발산한다'는 성질을 이용한다. 즉, 수열을 계산하다가 절댓값이 2를 넘는 점을 배제하고 그리면 된다. 이러한 성질을 이용하더라도 집합에 포함되는 점은 무한히 계산해도 발산하지 않기 때문에, 보통 특정한 [math(n)]의 값을 정하고 그 값까지만 계산한다. 물론 [math(n)]이 클수록 완성된 그림의 정확도도 높아진다. 수학적으로는 어떤 점이 망델브로 집합에 포함되거나 포함되지 않거나의 두 가지 경우밖에 없으므로 흑백으로만 그려도 상관은 없지만, 대부분의 경우 처음으로 [math(\left| z_n \right|)]이 [math(2)]를 넘는 [math(n)]의 값에 따라 배경에 색을 칠한다. [[분류:프랙탈 이론]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]