[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''로그 적분 함수(Logarithmic Integral function)'''는 [[특수함수]]의 하나로, [math(\mathrm{li}(x))]로 표기한다. 정의는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)\equiv\int_0^x\frac{1}{\ln t}\,\mathrm{d}t)]}}} [[로가리듬|로그]]의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 [[0으로 나누기|값이 정의되지 않는다]]. 이 함수의 그래프는 아래와 같다. [[파일:namu_로그적분함수_그래프_NEW.png|width=200&align=center]] 이 함수는 [[소수 계량 함수]]와의 관계가 깊으며, 이것이 [[소수 정리]]이다. 따라서 [[정수론]](특히 [[해석적 정수론]])을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[* 옛날([[카를 프리드리히 가우스|가우스]]와 [[아드리앵 마리 르장드르|르장드르]]가 살아 있었을 시절)에는 [math(\dfrac x{\ln x})]를 썼다.] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 '''[[리만 가설]]'''이다. 이외에도 [[스큐스 수]]를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다. 적분 범위를 [math([0,\,x])]가 아닌 [math([2,\,x])]로 규정한 경우도 있다.[* 이 경우 대문자 [math(\mathrm{L})]을 써서 [math(\mathrm{Li}(x)\equiv\mathrm{li}(x)-\mathrm{li}(2))]로 정의한다. 표기가 같은 [[폴리로그함수]]와 혼동에 주의. 사실 [math(2)]보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 보다시피 '''[[정수]]가 아닌지라...'''] 이럴 경우 특이점인 [math(1)]이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 [[코시 주요값|[math(1)]을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.]] === 라마누잔-졸트너 상수 === [include(틀:수학상수의 목록)] {{{+1 Remanujan-Soldner constant}}} 위 그래프에서 보듯 [math(x>1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 발견자인 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Georg_von_Soldner|요한 폰 졸트너]]와 이를 해석적으로 계산해낸 [[스리니바사 라마누잔]]의 이름을 따와서 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Soldner_constant|라마누잔-졸트너 상수]]라고 한다. 이 상수는 [[그리스 문자]] [[Μ|[math(\mu)]]]로 표기하며, [[불완전 감마 함수]]를 이용해 그 값을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mu\equiv-\Gamma(0,\,-\ln2)-i\pi)]}}} 로 표기할 수 있으며, [[소수(실수)|소수]]로 표현하면 약 [math(1.451369\cdots)] 정도이다. == [[지수 적분 함수]]와의 관계 == [[지수 적분 함수]]와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 [[항등식]]이 존재한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x) \\ &=\mathrm{Ei}(\ln(x)) \end{aligned} )]}}} 이것의 증명은 아래와 같다. 적분 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac1{\ln t}\,\mathrm{d}t )]}}} 의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac t{t\ln t}\,\mathrm{d}t )]}}} 꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv-k)]로 치환하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}t=-\mathrm{d}k\qquad\qquad\lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty )]}}} 가 성립함에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{li}(x) &= \int_0^x \frac t{t\ln t} \,\mathrm{d}t \\ &= \int_{\infty}^{-\ln x} \frac{e^{-k}}{-k}(-\mathrm{d}k) \\ &= -\int_{-\ln x}^{\infty} \frac{e^{-k}}k \,\mathrm{d}k \end{aligned} )]}}} 이 적분은 [[지수 적분 함수]]와 [[자연로그]]의 합성함수 꼴이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x) )]}}} 로 쓸 수 있음을 얻는다. == 관련 문서 == * [[로그함수]] * [[소수 계량 함수]] * [[소수 정리]] [[분류:비초등함수]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]