[include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == '''다항식'''은 변수와 상수[* 중고등학교까지는 어떤 것이 상수로 올 수 있는지 명확하게 정해져 있지는 않다. 대개 중학교까지는 a, b, c 등의 문자 또는 1, -1, 2, -2, 3, ... 등의 정수 정도를 쓰고, 고등학교쯤 되면 유리수가 꽤 보이고 무리수도 가끔씩. 학부 이후에선 '[[유리수|[math(\mathbb{Q})]]]위의 다항식 ', '[[실수|[math(\mathbb{R})]]]위의 다항식', '[[복소수|[math(\mathbb{C})]]]위의 다항식' 과 같이 명시한다.]들의 합, 차, 곱으로 이루어진 식을 말한다. 또는 -1도 상수이므로 변수와 상수들의 합과 곱으로 이루어진 식이라고 할 수도 있겠다.[* 대수학에서 [[환(대수학)]]이라고 부르는 녀석의 예시.] 변수의 개수에 따라 일변수/다변수로 구분하고, 일변수 다항식의 경우 후술할 차수(degree)에 따라 일차/이차/삼차다항식 등으로 구분한다. 교과과정에서는 '고차다항식'의 경우 3차 이상의 경우를 일컫는다. 고등학교 수준에서의 다항식의 정의를 내리자면 [math(\displaystyle\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k})] ([math(a_n)]은 복소수이며, n은 0 이상의 정수)로 표현할 수 있는 식이다.[* n=0일 수도 있으므로 단항식이나 상수만 딸랑 있는 식도 다항식에 포함된다.] 여기서 [math(\displaystyle n = \deg\left(\sum _{k=0}^{n} {a_k x^k}\right))]을 다항식의 [[차수#s-2]]라고 한다. 위 식의 또 하나의 특징은 식을 변수 x에 대해 미분하고 그 식을 다시 x에 대해 미분하는 방식으로 끊임없이 미분하면 그 값이 0이 된다는 점이다. 수학자들이 쓰는 [[대수학]]에서의 일반적인 정의도 이와 비슷하지만, 계수의 범위에 제약을 주지 않는다는 것이 차이점. 여기서는 계수가 [[환(대수학)|환]] [math(R)] 위에 있는 변수가 [math(x)]인 다항식의 집합을 [math(R[x])]라 쓴다. 변수가 2개 이상일 때는 [math(R[x,y])] 이런 식으로 쓴다. 중등과정 이내에선 [math(\mathbb{R}[x])]나 [math(\mathbb{C}[x])] 을 제외하면 나오지 않지만, 대학 수학 이상에선 [[유한체]]라던가 [[함수]]라던가 별의별 희한한 계수들이 튀어나오는 것이 예삿일이다. [[중학교]] 너머의 수학에서 방석으로 깔고 들어가는 것으로 조잡한 [[사칙연산|연산질]]과 계산에서 한발짝만 더 나오는 순간 당신을 대면하는 것. 사실상 문자와 식의 도입과 계산이 초등학교까지의 수학과의 차이이면서 중학교 이후의 수학의 토대가 되므로, 반드시 잘 이해하고 넘어가도록 하자. ~~아니면 나중에 고생할지도 모르니까 정말이다 반드시 이해하고 가자~~ 당장에 [[방정식]], [[인수분해]], 도형의 방정식([[해석기하학]]), 이차함수, [[부등식]] 등등 고등학교 수학 절반은 다항식과의 싸움이다. 실제 수학의 역사에서도 [[변수]]와 다항식의 도입은 산수에서 벗어나 근대 [[대수학]]을 여는 시작이 되었다. 기호가 없었을 수학의 초창기에는 모든 개념을 말로 설명했는데, 예를 들자면 [math(x(ax+b)=c)] 같은 방정식을 '어떤 수(x)의 몇(a)배에서 얼마(b)를 더한 것과 원래 그 어떤 수의 곱이 얼마(c)라고 한다' 이런 식으로 썼다. 이차방정식의 [[근의 공식]] 같은 것도 다 이런 식으로 현기증나게 설명했다는 소리다. 르네상스 때에 와서야 사칙연산의 기호가 생겨나고, [[데카르트]]가 [[미지수]] 기호를 만들면서 표기법이 조금씩 발전해 우리가 아는 다항식 표기가 만들어졌다. 물론 다항식 이전에도 이차방정식의 근의 공식은 있었고 할건 다 했지만, 3차, 4차 등의 고차방정식을 풀고 [[해석기하학]]을 발생시키는 등 이후의 근대 대수학의 발전은 이 표기가 아니었으면 훨씬 지연되었을 것이다. 만약 다항식이 어렵다고 느껴진다면, 똑같은 짓을 다항식 없이 하려면 얼마나 더 어려울지 상상해보자. 다항식과 관련된 다음의 바리에이션들이 있다. * 다항식의 몫, 즉 [math(P(x)/Q(x))] 꼴을 '''유리식'''이라고 한다. 계수가 [math(F)] 위에 있는 유리식의 집합은 [math(F(x))]라 쓴다. * 다항식으로 나타낼 수 있는 [[함수]]를 '''다항함수'''라고 한다. * 유리식으로 나타낼 수 있는 함수를 '''유리함수'''라 하고, 그렇지 않은 함수를 '''무리함수'''라 한다. * 다항함수를 포함한 다항[[방정식]]의 근으로 나타낼 수 있는 함수를 '''대수함수'''라 한다. 교과과정에서 배우는 제곱근 등의 무리함수들은 모두 이 대수함수의 일종이다. 대수함수가 아닌 함수를 '''[[초월함수]]'''[* 특수함수라고도 한다.]라 한다. 초월함수의 대표적 예로 [[소수(수론)|소수]]의 개수를 세는 함수인 [[소수 계량 함수]]가 있는데, 이 함수를 정의하는 데 쓰이는 소수를 다항방정식으로 표현할 수 없다. == 용어 == 다항식들은 변수와 숫자들의 곱으로 나타나지는 '''단항식'''(monomial)들의 합으로 나타낼 수 있다. 각각의 단항식을 '''[[항]]'''(term)이라 부르고, 각 항의 '''계수'''(coefficient)는 문자로 구성된 부분에 곱해진 숫자이다. 항의 '''차수'''(degree)는 하나의 항에서 특정 문자가 곱해진 개수이고, 다항식의 차수는 0이 아닌 항의 차수 중 최대값으로 정의한다. 차수 0인 항을 '''[[상수]]항'''(constant term), 문자와 차수가 같은 항을 '''[[동류항]]'''(similar terms) 이라 한다. 예시) [math(x^3+3x^2y-2xy-x^2y+5xy-x+6)] 이때 [math(x^3, 3x^2y, -2xy, -x^2y, 5xy, -x, 6)]을 [[항]]이라고 부른다. [math(x^3)]에서 [math(^3)]을 [math(x)]의 차수라 하며,[* 삼차항이다.] [math(-2xy)]에서 [math(x)]에 대한 계수는 [math(-2y)]이다. 또한, [math(3x^2y)]와 [math(-x^2y)] 그리고 [math(-2xy)]와 [math(5xy)]를 [[동류항]]이라고 한다. 그리고 6을 [[상수]]항이라고 한다. 굳이 피곤하게 따지면 교과과정의 수학개념이 다 그렇듯 나사빠진 부분이 많다. [math(x)]를 상수취급하고 [math(y)]만 변수로 본다면 [math(x^3, -x, 6)]도 상수항이다.[* 사실 이런 시각이 필요할 때가 있는데. 다름아닌 '''[[편미분]]'''이다.] 다변수 다항식에서는 '무엇을 변수로 보느냐'를 먼저 정해야 위의 개념들이 확실해진다. 그러므로 위와 같은 경우 [math(f(x, y))]의 꼴로 쓰는 경우가 많다. 물론 일변수 경우에 한정하면 변수가 뭔지 확실하므로 딱히 문제는 없다. 다변수 다항식의 경우 간혹 차수를 순서쌍으로 나타내어, [math(5 x^2 y^3)]의 [math((x,y))]에 대한 차수를 [math((2,3))]으로 나타내기도 한다. 이 때는 각각의 차수들의 합을 총차수(total degree)라 부르기도 한다. x에 대한 차수 2, y에 대한 차수 3, 총차수 2+3=5 이런 셈. 0의 차수는 보통 정의하지 않지만, 가끔 편의에 따라서 -1이나 [math(-\infty)]로 정의하기도 한다. 합과 곱이 뒤섞인 형태의 다항식을 전부 풀어 동류항끼리 묶어 나타내는 것을 '''전개'''(expansion)라 한다. 빠른 전개에 쓰이는 것이 바로 [[곱셈 공식]]이다. 예시) [math((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz )] 반대로 다항식을 (가능할 경우에) 다른 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 '''[[인수분해]]'''(factorization)라 한다. 인수분해에서 곱에 쓰이는 각각의 다항식을 '''인수'''(factor)라 한다. 두 개 이상의 인수로 인수분해가 항상 가능한 것은 아니다. 예시) [math(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y))] == [[대수학]]에서 다항식의 성질 == 고교과정 이내에서 쓰이는 다항식의 성질은 다음이 있다. 의외로 엄밀한 증명이 쉽지만은 않아서, 암묵적으로 사용되는 경우가 대부분이다. 다항식의 계수가 유리수, 실수, 복소수 등일 때 다음이 성립한다. * 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고 통상적인 [[결합법칙]], [[교환법칙]], [[분배법칙]] 등을 만족한다. 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. ('정의되어 있지 않다'가 FM이다.) * 영인자는 존재하지 않는다. 즉 [math(fg =0)]이면 [math(f=0)] 또는 [math(g=0)]이다. [* 대수학에서는 이런 성질을 만족하는 집합을 정역(integral domain)이라 한다.] * (이하 일변수 다항식에 한해서) 몫과 나머지가 있는 나눗셈을 할 수 있다. 고교과정에서 [[나눗셈 정리]]라는 내용으로 소개되는 내용이다. * [[인수분해]]를 유일하게 할 수 있다.[* 단 여기서 '유일하게'의 기준은, 각각의 인수가 상수배만큼 차이나는 것은 같은 인수분해로 취급한다. [math(-3xy)] 같은 경우 [math((-3x) \cdot y)]로 분해하냐 [math(x \cdot (-3y))]로 분해하냐 하나로 정할 수가 없기 때문이다. 또한 다항식의 계수 범위에 따라 인수분해의 꼴이 바뀌기 때문에(실수 위에서는 [math(x^2+1)]이 더 분해되지 않지만 복소수 위에서는 [math((x+i)(x-i))]로 인수분해된다), 계수 집합을 확실히 정해 놓아야 한다.] * 두 다항식의 [[최대공약수]]와 [[최소공배수]]가 유일하게 존재한다. [* 역시 상수배만큼 차이나는 건 같은 걸로 취급한다. 보통 최고차항의 계수가 1인(monic) 것으로 한정하면 유일해진다.] * 유리식의 성질인 [[부분분수분해]]도 다항식의 성질에서 파생된 것으로 볼 수 있다. 보통 위 내용들의 증명은 스킵되는데, 마치 [[산술의 기본정리]]처럼 각잡고 증명할려면 의외로 힘들기 때문이다. 이것들이 대학교 현대대수학에서 일반적인 계수로 넘어오면 다음처럼 일반화된다. 가환[[환(대수학)|환]] [math(R)]에 대해 * [math(R[x])]는 당연히 가환환이다. * [math(R[x])]도 정역일 필요충분조건은 [math(R)]이 정역인 것이다. * [math(R)]이 체이면 [math(R[x])]에선 나눗셈을 생각할 수 있고 유클리드 정역(Euclidean domain)이 된다. 따라서 ED->PID->UFD의 [[상하관계]]에 의해서 [[최대공약수]]가 존재하고 유일[[인수분해]]가 가능하다. * 하지만 [math(R)]이 체가 아니면 [math(R[x])]는 PID도 되지 못하고, 나눗셈을 생각할 수 없다. 당장에 정수계수 위에서만 봐도 [math(x^2 +1)]을 [math(2x+1)]로 나눌 수는 없으니. * [math(R)]이 UFD이면 [math(R[x])]도 UFD이다. 이것 때문에 의외로 [math(\mathbb{Z}[x,y])] 같은 애들이 나눗셈은 택도 없지만 인수분해는 유일하게 된다. == [[다항함수]] == 다항식으로 정의된 함수에 관한 내용은 [[다항함수]] 문서 참고 바람. == 기타 == 중학교 단골문제로 단항식은 다항식이냐는 문제가 출연한다. 참고로 단항식도 다항식이다. [[미분]][* 정확히는 도함수]을 할 경우 차수가 계수로 넘어오고 차수는 1씩 줄어든다. 당연하지만 차수가 0인 상수항은 증발한다. [[부정적분]]은 미분의 역연산인데, 원래의 상수항이 어떤 것이었는지를 알 길이 없으므로 C로 표기하는데 여기서의 C를 적분상수라 한다. ~~사실 정적분때는 걍 무시당하는 불쌍한녀석이다.~~[* 물론 이것은 정적분을 계산할 때 부정적분을 아무거나 택해도 되기 때문에 그런 것이지 적분상수가 필요 없다는 의미는 아니다. 자세한 내용은 [[미적분학의 기본정리]] 참조.] >[math(\displaystyle 3x^2+8x+x+5)] >---- >[math(\displaystyle {d \over dx} 3x^2+8x+x+5 = 6x + 8 + 1)] (위 식을 미분한 꼴) >[math(\displaystyle \int (6x + 8 + 1) dx = 3x^2 + 8x + x + C)] (위 미분한 식의 부정적분) >[math(\displaystyle \int (3x^2+8x+x+5) dx = x^3 + 4x^2 + {1 \over 2}x^2 + 5x + C)] (처음 식의 부정적분) 다만, 차수가 -1인 경우는 부정적분 시 상수항이 아닌 [[로가리듬]]의 형태로 적분이 되므로 주의해야 한다. >[math(\displaystyle \int x^{-1}dx = \int \frac{1}{x} dx= \ln x + C)] == 관련 문서 == * [[다항함수]] * [[항등식]] * [[방정식]] * [[부등식]] * [[곱셈 공식]] * [[인수분해]] [[분류:대수학]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]