[[분류:수학 용어]][[분류:한자어]][[분류:함수]][[분류:해석학(수학)]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개념 == {{{+1 multivariate function · [[多]][[變]][[數]][[函]][[數]]}}} 변수가 세 개 이상인 함수. 가장 기본적인 꼴의 [[함수]]는 [math(y=f(x))] 꼴로서, 변수가 두 개이다. 이런 함수는 변수 [math(x)]와 변수 [math(y)]가 직접적인 영향을 주고받으며, [math(y)]가 종속변수가 되는 가운데 독립변수는 [math(x)] 단 하나이다. 그런데 함수의 변수가 꼭 두 개여야 할 필요는 없고, 세 개 이상으로 늘어나도 무방하다. 하나의 종속변수를 제외한 나머지 변수가 독립변수가 되므로 이 경우 독립변수가 두 개 이상이 된다. [math(z=f(x, y))] 꼴이 되는 변수가 세 개인 다변수함수는, [[좌표평면]]에 [math(x)]축과 [math(y)]축에 동시에 수직이 되고 원점을 지나는 [math(z)]축을 도입하여 '''3차원 좌표공간'''에 그래프로 나타낼 수 있다. [[정다포체]]처럼 [[차원]]이 4 이상인 도형은 실재하므로 변수가 4개 이상인 다변수함수는 3차원 좌표공간 축에다가 축을 하나 이상 더해서 그래프로 나타낼 수 있다. 또한, [[초기하함수]]처럼 [[집합]]을 변수로 하는 함수는 해당 변수를 좌표축으로 둘 수 없다. 다변수함수는 다변수 실함수와 다변수 복소함수로 나뉜다. 이 문서에서는 '''편의상 변수가 세 개인 다변수함수로 여러 정보를 설명'''하며, 임계점, 상대적 극대·극소, 변곡점, 안장점과 같은 개념들은 그 다변수함수를 그래프로 나타낼 수 있음을 전제하며, 따라서 함수의 변수도 세 개임을 전제하는 셈임을 기억하라. == 다변수함수가 되기 위한 조건 == 식 [math(y=f(x))]가 함수가 되려면, [math(f)]의 정의역에 속하는 [math(x)]에 값에 대해 오직 하나의 [math(y)]값이 [math(f)]의 치역에 존재해야 한다. 이와 마찬가지로, 식 [math(z=f(x,y))]가 함수가 되려면, [math(f)]의 정의역에 속하는 [math((x,y))]로 이루어진 '''[[순서쌍]] 각각에 대해''' 오직 하나의 [math(z)]값만이 [math(f)]의 치역에 존재해야 한다. 이 경우 [math(x)]와 [math(y)]는 독립변수, [math(z)]는 종속변수가 된다. [math(x)]라는 독립변수의 값이 달라지지 않았는데 [math(z)]의 값이 달라졌다고 해서 함수가 아니라고 단정할 수 없다. [math(y)]의 값이 달라졌다면 순서쌍 [math((x,y))]가 결국 달라진 것이므로, 함수가 될 수 있다. 함수가 아닌 경우는 [math(x)]와 [math(y)]의 값이 모두 달라지지 않았는데 [math(z)]의 값이 달라질 수 있는 경우이다. 이 경우는 순서쌍 [math((x,y))]가 달라지지 않기 때문이다. == [[편도함수]] == {{{+1 partial derivative · [[偏]][[導]][[函]][[數]]}}} 다변수함수 [math(z=f(x,y))]에서 어느 한 독립변수([math(x)] 또는 [math(y)])가 종속변수 [math(z)]에 미치는 영향을 알기 위해서는 다변수함수의 편도함수를 구해야 한다. [math(x)]에 대한 [math(z)]의 편도함수란, '''다른 모든 독립변수는 변화 없이 일정하게 고정한 상태에서''' [math(x)]의 변화가 [math(z)]에 끼치는 직접적인 영향, 즉 [math(x)]의 변화에 대한 [math(z)]의 순간변화율을 나타낸다. [math(f_x)], [math(z_x)], [math(f_x(x,y))], [math(\frac{\partial z}{\partial x})], [math(\frac{\partial f}{\partial x})]로 표기한다. [math(y)]에 대한 [math(z)]의 편도함수 역시 모든 것이 마찬가지이다. 이를 수학적으로 나타내면 [math(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta{x}\to 0}\frac{f(x+\Delta{x},y)-f(x,y)}{\Delta{x}})] [math(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta{y}\to 0}\frac{f(x,y+\Delta{y})-f(x,y)}{\Delta{x}})] 가 된다. === 구하는 법 === 도함수를 구하는 것을 '미분'이라고 하듯이, 편도함수를 구하는 것은 '편미분'이라고 한다. [[편미분]] 참고. === [[편미분방정식]] === 편도함수로 이뤄진 [[방정식]]으로, 이 방정식의 해는 다변수함수가 된다. 자세한 내용은 문서 참조. == 이차편도함수 == {{{+1 [[二]][[次]][[偏]][[導]][[函]][[數]] / quadratic partial derivative}}} 어느 한 독립변수에 대하여 두 번을 편미분하여 나오는 함수. 함수 [math(z=f(x,y))]에 대해, [math(x)]에 대한 이차편도함수는 [math(f_{xx})], [math((f_x)_x)], [math(\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x} \right))], [math(\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2})]로 표기한다. [math(y)]에 대한 이차편도함수 역시 모든 것이 마찬가지이다. [math(f_{xx})]는 두 독립변수 [math(x)]와 [math(y)] 중 [math(y)]가 고정된 상태에서의 [math(f_x)]의 변화율을 나타낸다. 마찬가지로 [math(f_{yy})]는 두 독립변수 [math(x)]와 [math(y)] 중 [math(x)]가 고정된 상태에서의 [math(f_y)]의 변화율을 나타낸다. 예를 들어 [math(f(x,y)=3x^2+4xy+2y^3)]을 [math(x)]에 대해 한 번 편미분하면 [math(f_x=6x+4y)], 두 번 편미분하면 [math(f_{xx}=6)]이다. == 교차편도함수 · 혼합편도함수 == {{{+1 cross partial derivative · [[交]][[叉]][[偏]][[導]][[函]][[數]]}}} {{{+1 mixed partial derivative · [[混]][[合]][[偏]][[導]][[函]][[數]]}}} 원시함수를 하나의 독립변수에 대해 편미분한 후 이를 다시 또 다른 독립변수에 대해 편미분하여 나오는 함수. 함수 [math(z=f(x,y))]에 대해, 먼저 [math(x)]에 대해 편미분한 후 [math(y)]에 대해 편미분한 교차편도함수는 [math(f_{xy})]로 쓴다. 마찬가지로, 함수 [math(z=f(x,y))]에 대해, 먼저 [math(y)]에 대해 편미분한 후 [math(x)]에 대해 편미분한 교차편도함수는 [math(f_{yx})]로 쓴다. 다시 말해 편미분한 변수의 순서에 맞추어 표기하는 것이다. 교차편도함수는 1차편도함수를 구할 때 고정했던 독립변수[* 곧, 첫째 편미분의 대상이 되지 않은 독립변수] 중 어느 하나에 대한 1차편도함수의 변화율을 나타낸다. 한편, 언제 [math(\boldsymbol{f_{xy}=f_{yx}})]가 성립하는지는 큰 떡밥인데 충분조건은 많은 수학자들이 찾아냈지만 필요충분조건은 아직 요원하다. 일상적 수준에선 이계 편미분이 연속이라는 충분조건 정도에서 넘어간다. == [[임계점]] == {{{+1 critical point · [[臨]][[界]][[點]]}}} 점 [math(p)]에서 함수가 미분가능하지 않거나, 혹은 그래디언트의 값이 0이 되는 점을 '''임계점'''(critical point)이라 부른다. 임계점 [math(p)]의 근방 [math(U)]가 있어 [math(f(p))]가 [math(U)] 위에서 [math(f)]의 최대값/최소값이 될 때, [math(p)]를 각각 '''극대점'''(local maximum) 및 '''극소점'''(local minimum)이라 부른다. 극대점도 극소점도 아닌 임계점을 '''안장점'''(saddle point)이라 부른다. 모든 극대점과 극소점은 임계점이 되므로, 미분가능한 함수의 경우 가능한 임계점을 모두 조사해 극소점과 극대점들을 찾아낼 수 있다. === 상대적 극대 === {{{+1 [[相]][[對]][[的]] [[極]][[大]] / relative maximum}}} 어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 값의 곱이 두 교차편도함수의 곱[* 앞서 언급한 '''영의 정리'''에 의해, '''두 교차편도함수의 곱'''이란 결국 '''어느 한 교차편도함수의 제곱'''과 같다. 곧, [math(\boldsymbol{f_{xy}=f_{yx}})]'''이므로''' [math(\boldsymbol{(f_{xy})^2=(f_{yx})^2=f_{xy}·f_{yx}})]'''이다.''']보다 '''크고''' 두 2차편도함수의 부호가 모두 '''음'''이면, 그 임계점은 '''상대적 극대'''가 된다. 곧, ||[math(\displaystyle{1.})] [math(\displaystyle{f_x=f_y=0})] [math(\displaystyle{2.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>(f_{xy})^2})][* 이 역시 마찬가지. '''영의 정리'''에 의해, [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>f_{xy}·f_{yx}})]이기 때문에, 어느 쪽을 써도 상관없다.] [math(\displaystyle{3.})] [math(\displaystyle{f_{xx}<0, f_{yy}<0})] 를 만족시키는 점 [math((a,b))]는 상대적 극대이다.|| 1번 조건은 점 [math((a,b))]가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대 혹은 상대적 극소가 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 상대적 극대로 최종적으로 결정되도록 한다. === 상대적 극소 === {{{+1 [[相]][[對]][[的]] [[極]][[小]] / relative minimum}}} 어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 '''크고''' 두 2차편도함수의 부호가 모두 '''양'''이면, 그 임계점은 '''상대적 극소'''가 된다. 곧, ||[math(\displaystyle{1.})] [math(\displaystyle{f_x=f_y=0})] [math(\displaystyle{2.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>(f_{xy})^2})] [math(\displaystyle{3.})] [math(\displaystyle{f_{xx}>0, f_{yy}>0})] 를 만족시키는 점 [math((a,b))]는 상대적 극소이다.|| 1번 조건은 점 [math((a,b))]가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대 혹은 상대적 극소가 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 상대적 극소로 최종적으로 결정되도록 한다. === [[변곡점]] === {{{+1 [[變]][[曲]][[點]] / inflection point}}} 어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 '''작고''' 두 2차편도함수의 부호가 서로 '''같으면''', 그 임계점은 '''변곡점'''이 된다. 곧, ||[math(\displaystyle{1.})] [math(\displaystyle{f_x=f_y=0})] [math(\displaystyle{2.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}<(f_{xy})^2})] [math(\displaystyle{3.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>0})] 를 만족시키는 점 [math((a,b))]는 변곡점이다.|| 1번 조건은 점 [math((a,b))]가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 변곡점 혹은 안장점이 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 변곡점으로 최종적으로 결정되도록 한다. === [[안장점|안장점/안점]] === {{{+1 [[鞍]][[裝]][[點]], [[鞍]][[點]] / saddle point}}} 어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱보다 '''작고''' 두 2차편도함수의 부호가 서로 '''다르면''', 그 임계점은 '''안장점(안점)'''이 된다. 곧, ||[math(\displaystyle{1.})] [math(\displaystyle{f_x=f_y=0})] [math(\displaystyle{2.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}<(f_{xy})^2})] [math(\displaystyle{3.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}<0})] 를 만족시키는 점 [math((a,b))]는 안장점이다.|| 1번 조건은 점 [math((a,b))]가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 변곡점 혹은 안장점이 되도록 범위를 좁히며, 3번 조건은 그 임계점이 안장점으로 최종적으로 결정되도록 한다. === 그 외 === 어떤 임계점에서 두 2차편도함수의 곱이 두 교차편도함수의 곱과 '''같으면''', 어떤 특수한 결론도 내릴 수 없다. 엄밀히 말하면, '''상대적 극대도, 상대적 극소도, 변곡점도, 안장점도 아닌 임계점'''이 된다. 곧, ||[math(\displaystyle{1.})] [math(\displaystyle{f_x=f_y=0})] [math(\displaystyle{2.})] [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}=(f_{xy})^2})] 를 만족시키는 점 [math((a,b))]는 상대적 극대도, 상대적 극소도, 변곡점도, 안장점도 아닌 임계점이다.|| 1번 조건은 점 [math((a,b))]가 임계점이 되도록 하며, 2번 조건은 그 임계점이 상대적 극대도, 상대적 극소도, 변곡점도, 안장점도 아닌 임계점으로 최종적으로 결정되도록 한다. === 총정리 === 총정리하여 표로 나타내면 다음과 같다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#000000><bgcolor=yellow><-5> '''함수''' [math(\displaystyle\boldsymbol{z=f(x,y)})] '''위의 점''' [math(\displaystyle\boldsymbol{(a,b)})]'''는 어떤 점인가?''' || ||<-5><bgcolor=pink> [math(\displaystyle\boldsymbol{x=a, y=b})]'''를 대입하여 판단한다.''' || ||<-5> [math(\displaystyle{f_x=0, f_y=0})][br]'''(임계점)''' || ||<-2> [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>(f_{xy})^2})][br]'''(상대적 극대 or 상대적 극소)''' ||<-2> [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}<(f_{xy})^2})][br]'''(변곡점 or 안장점)''' ||<|2><-1> [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}=(f_{xy})^2})][br]'''(상대적 극대도, 상대적 극소도,[br]변곡점도, 안장점도 아닌 임계점)''' || ||<-1> [math(\displaystyle{f_{xx}<0, f_{yy}<0})][br]'''(상대적 극대)''' ||<-1> [math(\displaystyle{f_{xx}>0, f_{yy}>0})][br]'''(상대적 극소)''' ||<-1> [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}>0})][br]'''(변곡점)''' ||<-1> [math(\displaystyle{f_{xx}·f_{yy}<0})][br]'''(안장점)''' || === 이계도함수 판정법 === 함수가 임계점 [math(p)] 근방에서 이계 미분이 존재할 경우, '''헤세 행렬''' 혹은 '''헤시안'''(Hessian matrix/Hessian)은 이계도함수들을 모아놓은 다음의 대칭행렬로 정의된다. [math(\displaystyle \mathrm{Hess}(f) = \left(\frac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j} \right)_{i,j=1,\cdots, n})] 대칭행렬에 대한 [[스펙트럼 정리]]에 의해, n변수 다변수함수의 헤세 행렬은 항상 대각화가 가능하며 n개의 고윳값을 갖는다. 이들 고윳값의 부호가 특정 조건을 만족할 경우 임계점의 특성을 다음처럼 판정할 수 있다. ||'''이계도함수 판정법/헤세 판정법'''(Second derivative test) 다변수함수가 임계점 [math(p)] 근방에서 모든 이계도함수가 존재하고 연속일 때([math(C^2)]), 1. 헤세 행렬의 고윳값이 모두 양수이면(즉 양정치(positive definite)이면) [math(p)]는 극대점이다. 1. 헤세 행렬의 고윳값이 모두 음수이면(즉 음정치(negative definite)이면) [math(p)]는 극소점이다. 1. 헤세 행렬이 양수 고윳값과 음수 고윳값을 모두 갖고 있으면, [math(p)]는 안장점이다. || 이상의 경우에 해당하지 않으면 이계도함수 판정법을 사용할 수 없다. 고유값이 반정치(semidefinite)인 경우에는 안장점 및 극점이 되는 것이 모두 가능하다. 예로 [math(f(x,y) = x^2 + ky^4)] 같은 경우 헤세 행렬은 항상 양반정치(positive semidefinite)이지만, 점 [math((0,0))]은 [math(k<0)]이면 안장점이 되고, [math(k \ge 0)]이면 극대점이 된다. 다만 양수 고유값이 있으면 적어도 극소점이 될 수는 없다는 것은 증명할 수 있다. 이계도함수 판정법의 증명은 다변수 [[테일러 정리]]를 2차항까지 전개하여 진행된다. === 이변수 함수에서의 이계도함수 판정법 === ||이변수 함수의 이계도함수 판정법 다변수함수 [math(f(x,y))]가 가 임계점 [math(p)] 근방에서 모든 이계도함수가 존재하고 연속일 때([math(C^2)]), 1. [math(f_{xx} f_{yy} > f_{xy}^2)]이며 [math(f_{xx}, f_{yy}>0)]이면 [math(p)]는 극대점이다. 1. [math(f_{xx} f_{yy} > f_{xy}^2)]이며 [math(f_{xx}, f_{yy}<0)]이면 [math(p)]는 극소점이다. 1. [math(f_{xx} f_{yy} < f_{xy}^2)]이면 [math(p)]는 안장점이다. || 만약 [math(f_{xx} f_{yy} = f_{xy}^2)]이면 이계도함수 판정법을 사용할 수 없다. 식 [math(f_{xx} f_{yy} > f_{xy}^2)]은 헤세 행렬의 [[행렬식]]이며, 이변수 함수의 경우에는 이 행렬식은 고윳값 [math(\lambda_1, \lambda_2)]의 곱이 된다. 따라서 만약 행렬식이 0보다 작다면 두 고윳값의 부호는 달라진다. 만약 행렬식이 양수이고 [math(f_{xx}>0)]이면, 실베스터 판정법(Sylvester's criterion)에 의해 좌상단 [math(k \times k)]의 주 소행렬식(principal minors)이 모두 0보다 크므로 헤세 행렬이 양정치가 됨을 알 수 있다. 음정치인 경우에는 [math(-f)]에 1번 조건을 적용하면 된다. == 목록 == * 다변수 [[다항함수]] * [[다중선형형식]] * [[내적]] * [[주대각합]] * [[행렬식]] * [[이차형식]] * [[삼차형식]] * [[어림]] 함수 * [[올림]] * [[버림]] * [[반올림]] * [[최대공약수]] * [[최소공배수]] * [[약수 함수]] * [[초기하함수]] * [[폴리로그함수]] * [[집합 판별 함수]] * [[역삼각함수#s-6|이변수 역탄젠트 함수]] * [[베타 함수]] * [[불완전 베타 함수]] * [[불완전 감마 함수]] * [[타원/타원 적분|타원 적분 함수]] * [[야코비 타원 함수]] * [[세타 함수]] * [[르장드르 함수]] * [[에르미트 함수]] * [[라게르 함수]] * [[베셀 함수]] == 관련 문서 == * [[다중선형형식]] * [[동차함수]] * [[편미분]] * [[델(연산자)|[math(\nabla)]]]