[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == Newton–Raphson method 미분가능한 함수 [math(f:\left[a, b\right]\to\mathbb{R})]에 대해 x에 대한 [[방정식]] [math(f\left(x\right)=0)]의 근의 근사값을 구하는 [[알고리즘]]. == 상세 == 구간 [math(\left[a, b\right])]에서 임의로 원소 [math(x_0)]를 택하고 다음과 같은 점화식을 정의한다. ||[math(\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )})]|| 그러면 특정 조건 하에서는 극한값 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n)]이 존재하고 그 극한값이 방정식의 근이 된다. == 예시 == === [[√2|[math(\sqrt{2})]]]의 근삿값 구하기 === [math(\sqrt{2})]는 방정식 [math({x}^{2}-2=0)]의 한 근이다. [math(f\left ( x \right )=x^{2}-2)]로 놓으면 [math(f'\left(x\right)=2x)]이므로 점화식은 다음과 같다. ||[math(\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}})]|| [math(x_0=2)]라고 하면 다음과 같이 계산된다. 볼드체는 실제 값과 일치하는 자릿수. ||<:>n||<:>[math(x_n)]||<:>[math(\left | {x_n}^{2}-2 \right |)]|| ||<:>0||<:>2||<:>2|| ||<:>1||<:>'''1'''.5||<:>0.25|| ||<:>2||<:>'''1.41'''666666666667||<:>0.006944444444445|| ||<:>3||<:>'''1.41421'''568627451||<:>[math(6.00730488287127\times{10}^{-6})]|| ||<:>4||<:>'''1.41421356237'''469||<:>[math(4.51061410444709\times{10}^{-12})]|| 근에 빠른 속도로 수렴하는 것을 볼 수 있다. === [math(e^{x}-5x-13=0)]의 근의 근삿값 구하기 === [math(\begin{cases}f\left ( x \right )=e^{x}-5x-13 \\ f'\left ( x \right )= e^{x}-5\end{cases})]로 놓자. 그러면 점화식은 다음과 같다. [math(\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{e^{x_{n-1}}-5x_{n-1}-13}{e^{x_{n-1}}-5})] [math(x_0=2.5)]라 하면 ||<:>n||<:>[math(x_n)]||<:>[math(\left|e^{x}-5x-13\right|)]|| ||<:>0||<:>2.5||<:>13.3175|| ||<:>1||<:>4.354161815124195798851178994132||<:>43.03077|| ||<:>2||<:>3.763092592016330437643144443986||<:>11.26599|| ||<:>3||<:>3.467253291595249561814786479631||<:>1.712326|| ||<:>4||<:>3.403947713273494508244070291062||<:>0.062884|| ||<:>5||<:>3.401440601093522986200834613223||<:>0.000094|| ||<:>6||<:>3.401436823600939240742703523282||<:>2.140935×10^-10|| ||<:>7||<:>3.401436823592377958986325308771||<:>1.099696×10^-21|| ||<:>8||<:>3.401436823592377958986281333550||<:>2.901424×10^-44|| 참고로 정확한 값은 [math(x=-\dfrac{1}{5}\left(W_ z(-\frac{1}{5e^{\frac{13}{5}}+13})\right),z \in \mathbb{Z})]이고 [math(W_z)]에 대해서는 [[람베르트 W함수]]에 대해 참고 == 주의할 점 == * 초기값을 설정하는데 공을 들일 필요가 있다. 영 좋지 않은 초기값을 선택하면 근을 찾는데 많은 시간이 소모될 수 있음은 물론, 값이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 생길 수 있다. 통계학에서 추정에 활용될 때는 주로 적률이용추정량(Method of Moment Estimator)이 초기값으로 선택된다. * (초기값을 정확한 해로 정한 것이 아니라면) 아무리 반복해도 그 해에 무한히 수렴하는 근사값이 구해질뿐 정확한 값이 나오진 않는다. 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. == 기타 == * 서양에서 [[제곱근]] 값을 구할때 쓰였던 바빌로니아 법, 헤론의 방법 등은 이 뉴턴-랩슨 방법의 특수한 형태이다. [[제곱근]] 문서 참고. [[분류:해석학(수학)]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]