[include(틀:차원)] [목차] 영어 : ''A''rea, Extent, ''S''urface == 수학에서의 넓이 == '''[[2차원]]'''에서의 크기. 면적이라고도 한다. 간혹 [[자주 틀리는 한국어|너비를 넓이로 잘못 알고 있는]] 사람이 있는데, '''넓이는 너비와는 [[차원]]부터가 다르다(너비는 1차원, 넓이는 2차원)'''. [[길이]]와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 [[지수(수학)|제곱]]의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다. 너비와 높이가 두 배인 경우, 넓이는 이의 제곱인 4배가 된다. [[구구단|3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81...]] 등으로 외워 두면 좋다. 이런 제곱으로 늘어나는 넓이를 원하지 않는 경우, 한쪽 길이만 늘리든가, 아니면 [[제곱수]]가 아닌 이상 나누어 떨어지지도 않는 [[제곱근]]을 동원해야 한다. [[적분]]이 [[고대 이집트]] 시절부터 생겨난 것은 [[나일강]]으로 인해 주기적으로 범람해서 [[개판]](...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 [[곡선]]으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 [[극한|직선으로 최대한 근사시켜서]] 넓이를 구했다.[* 이를 구분구적법이라고 한다.] 넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 [[함수]]를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등... 사실 넓이보다는 [[측도]]라는 표현을 쓴다. [[적분|정적분]]의 정의를 이용한 조던 측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다. 넓이는 [[직사각형]]을 기준으로 하여, [[직사각형]]의 넓이를 '가로×세로'로 '약속'한 것이다. [[삼각형]], [[사다리꼴]], [[원(도형)|원]] 등등의 넓이 공식도 결국 이러한 약속 아래 정해진 것이다. 그런데 이러한 약속은 어디까지나 약속일 뿐이지 무조건 그래야 하는 것은 아니다. 이를테면 [[삼각형]]을 기준으로 하고 삼각형의 넓이를 '밑변×높이'로 약속할 수도 있다. 그러면 직사각형의 넓이는 '가로×세로×2'가 될 것이다. 이런 수학의 세계를 만드는 것도 결코 불가능하지 않다. 인간이 쓰고 있는 넓이 계산 방법은 어디까지나 그것이 가장 간단하기 때문에 널리 쓰이게 된 것이지 그렇게 되어야만 하는 필연적인 이유는 어디에도 없다. === 넓이의 단위 === ==== [[SI 단위]]계 ==== [math( \mathrm{m}^2 )] 통칭 '제곱미터(square meter)'. 옛날 교과서나 서적 등에서는 '평방미터'라고 되어있는 경우도 있는데 같은 단위이다. 건축이나 산업 현장에서는 일본식 표현에서 온 단위로 ‘회배’를 많이 사용하기도 한다. (1회배 = 1제곱미터) ==== 비SI 단위계 ==== * SI 단위계와 호환되는 단위 * [math( \mathrm{a} )] (아르) * [math( \mathrm{ha} )] ([[헥타르]]) * [[척관법]] 계열 * [[평]] * [[야드파운드법]] 계열 * [[에이커]] === 넓이를 재는 여러가지 방법 === ==== 특정한 모양의 넓이를 구하는 방법 ==== ===== [[삼각형]], [[사각형]], [[원(도형)|원]] ===== ====== 삼각형 ====== 삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 × [math(\frac {1}{2})] [math(\frac{1}{2})][math(ab)] ====== 사각형 ====== 직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 정사각형 넓이 = (변의 길이)^^2^^ 1. 서로 마주보는 두 점을 이어 대각선을 그린다. 1. 모든 사각형은 이 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 2개를 구할 수 있다. 이때 1. 에서 선택되지 않은 두 점과 밑변을 이어 높이 a,b를 구한다. 1. * 1.에서 그린 대각선이 사각형 안에 있을때; 사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × (a+b) * 1.에서 그린 대각선이 사각형 밖에 있을때; 사각형의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × (대각선의 길이) × |(a-b)| ====== 원 ====== 원의 넓이 = [[원주율]] × 반지름^^2^^ 중학교 1학년 수학에서 가르치기는 하지만 고등학교 2학년 과정인 [[미적분Ⅰ]], [[미적분Ⅱ]] 中 '구분구적법'과 '정적분' ~~고등학교 3학년 과정인 '기하와 벡터' 中 '음함수'[* 원의 방정식이 음함수이다.]는?~~을 이해해야 이 공식을 이해할 수 있다. 초등학교에서 하는 증명[* 원을 최대한 미세하게 가위로 잘라내서 부채꼴들의 호가 위아래로 번갈아 오도록 이들을 붙여 근사시킨 직사각형의 넓이가 (원주의 절반 × 반지름)이라는 사실을 통해 알 수 있다.]도 구분구적법이다. 초등학생 위키러는 이게 이해가 안된다면 그냥 외울 것. 나중에 자세하게 배운다. ====== [[부채꼴]] ====== 부채꼴의 넓이 = 원주율 × 반지름^^2^^ × (육십분법 중심각/360º) [[라디안|호도법]]을 쓸 경우 식이 간단해진다. 부채꼴의 넓이 = [math(\frac {1}{2})] × 반지름^^2^^ × 라디안 각 ===== [[타원]] ===== 타원의 넓이 = [math(\frac {1}{4})] × 원주율 × 장축의 지름 × 단축의 지름 = 원주율 × 장축의 반지름 × 단축의 반지름[* 타원을 원으로 [[정사영]]시켜 넓이 비교를 통해 증명할 수 있다.] ===== 입체도형의 겉넓이 ===== 입체도형의 경계가 면이므로 해당 도형의 겉넓이를 구할 수 있다. ====== 직육면체 ====== 직육면체의 겉넓이 = (2 × 너비 × 높이) + (2 × 너비 × 깊이) + (2 × 높이 × 깊이) ====== [[정육면체]] ====== 정육면체의 겉넓이 = 6 × 한 변의 길이^^2^^ = 6 × 한 면의 넓이 ====== [[원기둥]] ====== 원기둥의 겉넓이 = 밑면들의 넓이 + 옆면의 넓이 = (2 × 원주율 × 반지름^^2^^) + (2 × 원주율 × 반지름 × 높이) = 2 × 원주율 × 반지름 × (반지름 + 높이) ====== [[원뿔]] ====== 원뿔의 겉넓이 = (원주율 × 반지름^^2^^) + (원주율 × 반지름 × 모선 길이[* [[피타고라스 정리|√(반지름^^2^^ + 높이^^2^^)]]]) = 원주율 × 반지름 × (반지름 + 모선 길이) ====== [[구(도형)|구]] ====== 구의 겉넓이 = (4 × 원주율 × 반지름^^2^^) 원과 마찬가지로 정적분을 동원해야 증명을 할 수 있다. 원과는 달리 '''입체'''도형이므로 [[중적분]]을 해야 한다.[* 회전체의 부피 공식을 이용하면 한 번만 적분해도 된다.] ====== [[원환체]] ====== 토러스의 겉넓이 = 원주율^^2^^ × (바깥 반지름^^2^^ - 안 반지름^^2^^) == 모든 모양의 넓이를 구하는 방법 == [[구분구적법]] 참고. == 부동산에서의 면적 == * 대지면적: 건물이 대지와 맞닿은 면의 수평 너비를 뜻한다. * 연면적: 대지면적 × 층계수 * 영업면적: 상업시설의 연면적에서 실제 영업이 이루어지는 공간만의 면적. 주차장, 창고 등은 제외되어 소비자가 직접 체감할 수 있는 상업시설 규모의 지표다. [[분류:수학]][[분류:크기]][[분류:부동산]]