[include(틀:유체역학)] [include(틀:밀레니엄 문제)] [목차] == 개요 == {{{+2 Navier-Stokes equations}}} {{{+2 Navier-Stokes existence and smoothness}}} 나비에-스토크스 방정식은[* 줄여서 N.S Equation이라고도 한다.] 점탄성이 없는 유체(Newtonian fluid)[* 이는 다시 말하면 유체가 점탄성을 갖는 경우에는 어찌되었건 이 방정식이 성립하지 않는다는 것을 의미한다! [[혈액]]이나 [[우유]] 같은 경우가 대표적.]에 대한 운동량 수지식(balance)으로 '''비선형''' 편미분 방정식이다. 프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 [[뉴턴역학 3대법칙#s-2.2|뉴턴의 운동 제2법칙]](F=ma)를 [[유체역학]]에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 수지식이다. 이 방정식은 물리학의 수많은 곳에서 널리 사용되고 있다. 수학적인 관점에서 보자면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간) 상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, [[매끄러움|매끄러운지]] 등이 증명되지 않았다. 이렇기 때문에 공학 최전선에서조차 [[전산유체역학]]에 의존한다. 이 문제를 수학적인 관점에서 해결하라는 것이 [[밀레니엄 문제]]이다. 현재까지 미해결 문제로서, 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다. [[유체역학]]을 공부할 경우 반드시 거쳐가는 관문이다. 그런데 유체역학 항목을 보면 알 수 있듯 유체역학을 안 하는 공학이 더 마이너하다. ABET을 실시하는 미국 공학 과정에서도 2학년 이전에 이수해야 하는 기본적이고 중요한 개념. == 공식 == [math(\mathbf{u})]는 유체의 속도, [math(\mathbf{g})]는 중력가속도, [math(\rho)][* [[그리스 문자]] rho(로우)]는 밀도, [math(p)]는 압력, [math(\mu)][* [[그리스 문자]] mu(뮤)]는 점성계수, [math(\nu)][* [[그리스 문자]] nu(뉴)]는 점성계수를 밀도로 나눈 값[* 흔히 동점성kinetic viscosity라고 부른다.], [math(w)]는 압력을 밀도로 나눈 값, [math(\mathbf{I})]는 [[단위행렬]], [math(\otimes)]는 [[텐서곱]]을 나타낸다. === 기본형 === 이 형태는 [[오귀스탱 루이 코시|코시]] 방정식(Cauchy's equation)이라고도 한다. 이 경우 Navier-Stokes equation이라는 이름은 Newtonian fluid의 응력-변형률 관계를 대입하여 정리해놓은 것으로 한정된다. ||{{{+1 [math(\displaystyle \frac{ \partial }{ \partial t } \left( \rho \mathbf{u} \right) + \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) = \boldsymbol{\nabla} \cdot \tau + \rho \mathbf{g})]}}}|| 가장 기본적인 형태. [[응력]]과 변형률의 관계를 나타내지 않은 상태이다. === 비압축성 (incompressible) === 유체가 비압축성(대표적으로 [[액체]])일 경우 식이 상당히 간단해진다. 속도장의 발산 [math(\dfrac{dP}{dt} = 0)]이어서 최종 공식이 [math(\dfrac{d(-p\mathbf{u})}{dx} = \dfrac{dP}{dt} = 0)]으로 아주 간단하게 나눠 떨어진다. 일반적으로 관련 학부 2~3학년 과정에서 다룬다. * [[벡터]]를 사용해서 나타낸 식[* 가끔 [math(\nabla^{2})] 대신 [math(\Delta)]로 표현하곤 하는데, 같은 뜻이다. 역삼각형은 [[델(연산자)|델]], 똑바로 된 삼각형은 [[라플라시안]].] ||{{{+1 [math(\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \mathbf{u} - \nu \nabla^2 \mathbf{u} = -\boldsymbol{\nabla} w + \mathbf{g} )] }}}|| {{{#!folding[ 다른 표현 펼치기 · 접기 ] * 직교좌표에서 [[텐서]]를 사용해서 나타낸 식. ||{{{+1 [math(\displaystyle \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_j \frac{ \partial }{ \partial x_j } - \nu \frac{ \partial^2 }{ { \partial x_j }^2 } \right) u_i = - \frac{ \partial w }{ \partial x_i } + g_i )] }}}|| * [[스칼라]]를 사용해서 나타낸 식 ||[math(\displaystyle x : \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_x =)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial x } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_x + \mu \frac{ \partial }{ \partial x } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_x )] [math(\displaystyle y: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_y =)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial y } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_y + \mu \frac{ \partial }{ \partial y } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_y )] [math(\displaystyle z: \rho \left( \frac{ \partial }{ \partial t } + u_x \frac{ \partial }{ \partial x } + u_y \frac{ \partial }{ \partial y } + u_z \frac{ \partial }{ \partial z } \right) u_z =)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{ \partial p }{ \partial z } + \mu \left( \frac{ \partial^2 }{ { \partial x }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial y }^2 } + \frac{ \partial^2 }{ { \partial z }^2 } \right) u_z + \mu \frac{ \partial }{ \partial z } \left( \frac{ \partial u_x }{ \partial x } + \frac{ \partial u_y }{ \partial y } + \frac{ \partial u_z }{ \partial z } \right) + \rho g_z )]|| * 구면좌표계 ||[math(\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\phi}^{2}+u_{\theta}^{2}}{r}\right)=)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}\right)-2\frac{u_{r}+\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+u_{\theta}\cot\theta}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right])] [math(\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\phi}+u_{\phi}u_{\theta}\cot\theta}{r}\right)=)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\theta}\right)+\frac{2\sin\theta\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}-u_{\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right])] [math(\displaystyle \theta: \rho\left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r\sin\theta}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\phi}+\frac{u_{\theta}}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}+\frac{u_{r}u_{\theta}-u_{\phi}^{2}\cot\theta}{r}\right)=)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\theta}+\rho g_{\theta}+\mu\left[\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}u_{\theta}}{\partial\phi^{2}}+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}\right)-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\theta}-\frac{u_{\theta}+2\cos\theta\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}}{r^{2}\sin^{2}\theta}\right])]|| * 원통좌표계 ||[math(\displaystyle r: \rho\left(\frac{\partial u_{r}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{r}}{\partial z}-\frac{u_{\phi}^{2}}{r}\right) =)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_{r}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{r}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{r}}{r^{2}}-\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}\right])] [math(\displaystyle \phi: \rho\left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}-\frac{u_{r}u_{\phi}}{r}\right) =)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial\phi}+\rho g_{\phi}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{\phi}}{\partial z^{2}}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}}+\frac{2}{r^{2}}\frac{\partial u_{r}}{\partial\phi}\right])] [math(\displaystyle z: \rho\left(\frac{\partial u_{z}}{\partial t}+u_{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial r}+\frac{u_{\phi}}{r}\frac{\partial u_{z}}{\partial\phi}+u_{z}\frac{\partial u_{z}}{\partial z}\right)=)] [math(\displaystyle \; \; \; \; -\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u_{z}}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial\phi^{2}}+\frac{\partial^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}\right])]|| ~~[[대략 정신이 멍해진다]]~~ }}} 이렇게만 보자면 정말 어려워 보이지만 물리학적 관점으로 이해를 시도하면 단순히 유체에 작용하는 모든 운동량 전달을 나열해놓은 것으로 그렇게 어렵지 않다.~~ [[참 쉽죠?]]~~ 유체에 전달되는 운동량은 유체의 흐름에 의한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면의 입자 간 전달(전단 응력)(shear stress), 압력에 의한 전달, 중력에 의한 전달(유체의 무게)로 이루어져 있고 각 항의 벡터식을 좌표계에 맞게 쪼갠 것뿐이다. 뉴턴의 법칙으로부터 이 비압축성 방정식의 유도를 보고 싶다면 [[오일러 방정식#s-3.2]]의 3.2항목으로. ==== 비점성 (inviscid) ==== 이때는 식이 더 간단해진다. ||{{{+1 [math( \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}\right) \mathbf{u} = -\boldsymbol{\nabla} w + \mathbf{g} )]}}}|| 위 incompressible과 비교해보면, 비점성인 경우에는 μ=0이기 때문에 3번째 항이 사라졌다. 이 식은 [[오일러 방정식]]이라고도 한다. 참고로 공대가 아니더라도 1학년 때 만나 볼 수 있는데, 공돌이 타입 교수나 조교들이 다변수 미적분 파트에서 연습문제나 시험으로 종종 낼 때도 있다. === 압축성 === ||{{{+1 [math( \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla} \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} \bar{p} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{3} \nu \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{g} )]}}}|| 대표적으로 [[기체]]가 있으며 같은 기체라도 유속이 빠를수록 압축성에 의한 효과가 크게 나타난다. 비압축성에 비해 항이 좀 더 많아졌다. 스칼라식 풀이도 존재하나 [[여백이 부족하다|여백이 부족하여 여기에는 적지 않는다.]] 이것까지 학부에서 해결하기엔 시간이 부족해서 3학년 2학기나 4학년 초에 실용적인 거 열몇 가지 정도만 강제로 주입시키고[* 예를 하나 들면 관속을 흐르는 유동체의 기체와 액체] 졸업장 줘서 내보낸다, 사실 일반적인 공학 입장에서는 저 열몇 가지면 대체로 실용면에선 끝이라 봐도 무방하고, [* 화공을 예를 들면 졸업 후 필드에 나가거나 대학원에서 플랜트에 가보면 알겠지만, 도면도 그렇고 정말 완벽하게 이걸 쓰기 편하게 맞춰서 설계가 기본적으로 되어 있다.] 이거랑 일반항을 본격적으로 파는 건 이제 대학원 가서 하게 된다. == 설명 == [youtube(LCShk7pSFmA)] [[유체역학]]의 가장 기본이 되는 '''지배방정식 (governing equation)'''. [[물]]과 [[공기]]를 비롯해 점성을 가진 대부분의 기체와 액체의 운동을 나타내는 비선형 편미분 방정식이다.[* 페인트나 우유처럼 나비에-스토크스 방정식으로 설명할 수 없는 유체도 존재한다. 이는 방정식 자체가 Newtonian Fluid에만 적용이 가능하기 때문이며, 이런 Non-newtonian fluid들은 나비에-스토크스 방정식으로는 설명할 수 없는 점탄성(viscoelasticity) 등의 성질을 갖고 있다.][* 유체역학은 연속체역학의 부분집합인 만큼, 연속체로 가정할 수 없는 경우(희박기체, 아주 작은 스케일 등)에는 적용되지 않을 수 있다.] [[프랑스]] 물리학자 클로드 루이 나비에와 [[영국]] 수학자 조지 스토크스의 이름을 따왔다. 나비에-스토크스 방정식은 [[아이작 뉴턴|뉴턴]]의 제2법칙인 [[뉴턴의 운동법칙|F=ma]]를 유체역학에서 사용하기 편하게 그 형태를 바꾼 것이다. 유체는 고체와 달리 정해진 형태가 없기 때문에 우리가 흔히 역학 하면 생각하는 '고정된 좌표계'에서의 분석이 불가능하다. 따라서 유체에 뉴턴역학을 적용하기 위해서는 다른 방식이 필요하고, 이 방식에 따라 운동량 보존 법칙을 재정리한 것이 이 방정식이다. 따라서 이 방정식은 운동량 보존법칙이라고 불리기도 한다. 물리학에서 대표적으로 보존되는 물리량 중에서 유체역학에서 중요시하는 물리량은 질량, 운동량, 에너지로, 이 세 물리량의 보존법칙[* 비압축성의 경우 에너지 보존 법칙은 제외하고 풀기도 한다.]이 유체역학의 지배방정식이 되고, 그중 가장 복잡하고 중요한 방정식이 이 나비에-스토크스 방정식이다. 때때로 질량 보존 법칙[* 연속방정식이라고 불리기도 한다]까지 합쳐서 나비에-스토크스 방정식이라고 부를 때도 있다. [[기계공학]], [[항공우주공학]] 전공 대학생이라면 2~3학년 때 처음 이 방정식을 접하게 된다. 물론 [[토목공학]], [[화학공학]] 등의 유체를 다루게 되는 학과에서도 배울 수 있다. 물리학에서는 주로 플라즈마 물리 전공자들이 다룬다. [[비행기]]가 공중에 뜰 수 있는 것도, [[기상청]]에서 아직 오지도 않은 며칠 후의 날씨를 예측할 수 ~~없~~있는 것도 이 방정식과 관련이 있다. 쉽게 압축하자면 만약 이 방정식의 일반해를 구하는 방법이 증명된다면 기상예측 정확도가 엄청나게 높아진다는 이야기이다. --[[트리 다이어그램]]의 현실화.-- 문제는... 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 편[[미분방정식]] 중 하나라는 것이다. 이 방정식을 풀기 어렵게 만드는 범인은 위의 방정식의 좌변 두 번째 항( [math( \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I} \right) )] )으로, 이 항(advective term)[* 유체 이동에 의한 속도장의 변화를 나타냄]이 비선형[* 1차 [[연립방정식]]으로 변형할 수 없는 꼴]이기 때문에 해를 구하기가 어렵게 된다. 게다가 압축성의 경우에는 우변 맨 마지막의 점성항도 비선형( [math( \mu \nabla^2 \mathbf{u} \rightarrow \nu \nabla^2 \mathbf{u} + {1 \over 3} \nu \boldsymbol{\nabla} \left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u}\right) )] )으로 변한다. 몇몇 특수한 경우의 풀이법[* 대표적인 것으로는 속도가 다른 두 평판 사이의 유동(Couette; 예를 들어 비 올 때 도로와 타이어 사이의 빗물의 유동)이나 가늘고 긴 관 속을 흐르는 유동(Poiseuille)이 있다. 이 이외에도 몇 가지의 해석해가 존재하지만, 대부분 매우 느린 유동에 해당한다. 이는 사실상 공돌이들이 배우는 유체역학이 복잡해지는 이유 중 하나로, 여러 경우에 대해 각각 다른 공식을 적용해야 하기 때문이다.]은 알려져 있지만 일반적인 풀이법은 알려져 있지 않다. 심지어는 일반해가 있는지 없는지조차 아직 모른다... 이 방정식의 일반해 (정확히는 전역적이고 매끄러운 일반해)의 존재성을 보이거나 반증하는 것은 Navier–Stokes existence and smoothness라는 이름으로 [[밀레니엄 문제]]로 선정되었으며, 현재 100만 달러의 상금이 걸려 있다. 어쨌든 일반해의 존재성이 보장되느냐와 별개로 유체의 움직임을 예측하기 위해 [[컴퓨터]]를 동원해 [[수치해석|수치적으로 구하는 것이 유일한 방법]]으로 해를 구해 쓰고 있다. 이를 [[전산유체역학]](Computational Fluid Dynamics, 줄여서 CFD)이라고 부른다. 더 자세한 내용은 [[전산유체역학]] 참조. 2014년 1월 11일에 카자흐스탄 교수인 무흐타르바이 외텔바예프(Мұхтарбай Өтелбаев)가 이 방정식의 전역적(global)이고 연속적인 해가 존재함을 증명했다고 [[http://bnews.kz/en/news/post/180213/]]발표했으나 결국 검증 끝에 해당 증명은 틀렸다고 판명되었다 [[http://www.nature.com/news/fiendish-million-dollar-proof-eludes-mathematicians-1.15659|#]] == 유도 == === 비압축성 === 나비에-스톡스 방정식은 [[오일러 방정식]]에다가 점성을 고려한것이다. 해당 문서에도 점성에 대한 설명이 조금 나오지만, 이 항목에선 점성항을 조금 더 엄밀하게 다루고자 한다. 일단 먼저 "변형률 속도 (strain rate)"를 알아보자. 점성이 있는 유체라면 주위 유체에서부터 [[응력]]을 받으면, 이 응력 (stress) 때문에 "변형률 (strain)"이 생긴다. 이 변형률이 시간에 따라 변화하는 속도가 변형률 속도이며, 3x3 행렬 텐서인 [math(\displaystyle \nabla \textbf{u})] 로 정의된다. 대략 유체 "모양"이 변화하는 속도로 생각하면 된다. 이 텐서는 두 텐서로 분해가 가능한데, 하나는 유체가 얼마나 "회전"하는 정도를 나타내는 텐서이며, 다른 하나는 회전 없이 정말 모양이 변화하는 속도를 나타내는 텐서다. 후자를 [math(\displaystyle \underline{\underline \varepsilon})]라 칭하며[* 두줄 그은건 이게 스칼라나 벡터가 아닌 행렬 텐서라는걸 강조하기 위한것이다.], [math(\displaystyle \underline{\underline \varepsilon}=\frac{1}{2}(\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T}))]로 정의된다. 뉴턴의 점성법칙에 의하면 응력은 이 변형률 속도에 비례한다. 즉, [math(\displaystyle \underline{\underline \tau} \propto \underline{\underline \varepsilon})].[* 응력은 소문자 타우( [math(\displaystyle \underline{\underline \tau})] )로 나타낼때도 있고, 소문자 시그마( [math(\displaystyle \underline{\underline \sigma})] )로 나타낼때도 있다. 주로 전단 응력에는 타우를 쓰고 압축 응력에는 시그마를 쓰지만, 편의를 위해서 이 항목에서는 전부 타우로 통일했다.] 이 법칙을 따르는 유체를 뉴턴 유체라고 한다. 아쉽게도 이 법칙은 우주의 기본적인 법칙은 아니고, 문제를 쉽게 만들기 위한 편의상의 법칙이다. [[옴의 법칙]]이나 [[로버트 훅#s-2.1.2|훅의 법칙]] 처럼. 이제 우린 나비에-스톡스를 유도할 준비가 되었다. 일단 오일러 방정식에서 부터 시작하자. ||<tablealign=center><math>\displaystyle \rho(\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u})=-\nabla p+\rho \textbf{g}</math>|| 좌변이 [math(\displaystyle F=ma)]의 [math(\displaystyle ma)]고, 우변이 [math(\displaystyle F)]다. 단, 우변은 힘이 아니고 힘 밀도 (force density)라는 물리량이다. 좌변의 항도 질량 대신 (질량)밀도. 그렇다면 여태까지 이야기한 점성응력에 의한 힘 밀도는 무엇일까? 답은 [math(\displaystyle \nabla \cdot \underline{\underline \tau})] 이다. 어째서일까? 먼저 응력 텐서가 어떻게 생겼는지 한번 보자.[* 이 텐서의 정확한 의미는 [[응력]]문서 참조.] [math(\displaystyle \begin{bmatrix} \tau_{xx} \quad \tau_{xy} \quad \tau_{xz} \\ \tau_{yx} \quad \tau_{yy} \quad \tau_{yz} \\ \tau_{zx} \quad \tau_{zy} \quad \tau_{zz} \end{bmatrix})] [[파일:Divergence_of_Stress_Tensor.jpg|width=400|height=400]] 위의 그림을 참고해서 [math(\displaystyle F_x)] 를 구해보자. y와z방향으로도 똑같은 방법으로 구할 수 있다. [math(\displaystyle \text{d}F_x=\Delta \tau_{xx} \, \text{d}y \text{d}z+\Delta \tau_{yx} \, \text{d}x \text{d}z+\Delta \tau_{zx} \, \text{d}x \text{d}y=(\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})\,\text{d}x\text{d}y\text{d}z)] [math(\displaystyle \frac{\text{d}F_x}{\text{d}V}=\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})] 우변은 [math(\displaystyle (\nabla \cdot \underline{\underline \tau})_x)] 이므로, y와 z 방향으로도 똑같은 계산을 하면, [math(\displaystyle \frac{\text{d} \textbf{F}}{\text{d}V}=\nabla \cdot \underline{\underline \tau})] 인걸 알 수 있다. 그렇다면 이제 이 항을 오일러 방정식의 우변에 더해주자. ||<tablealign=center><math>\displaystyle \rho(\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u})=-\nabla p+\nabla \cdot \underline{\underline \tau}+ \rho \textbf{g}</math>|| 이제 [math(\displaystyle \underline{\underline \tau})] 와 속도장인 [math(\displaystyle \textbf{u})] 의 연관성을 찾아야한다. 여기에 필요한게 바로 [math(\displaystyle \underline{\underline \varepsilon})]다. 뉴턴의 점성법칙을 적용하자. ||<tablealign=center><math>\displaystyle \underline{\underline \tau}=2 \mu \underline{\underline \varepsilon}</math>|| 이렇게 비례상수를 [math(\displaystyle 2 \mu)]로 정한다. 그렇다면, ||<tablealign=center><math>\displaystyle \underline{\underline \tau}=\mu (\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T})</math>|| 또한 성립한다. 또한, 조금만 계산을 해보면 [math(\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T})=\nabla^2 \textbf{u})] 인걸 알 수 있다. 따라서 [math(\displaystyle \nabla \cdot \underline{\underline \tau}=\mu \nabla^2 \textbf{u})] 이며, 이걸 위의 식에 대입하면... ||<tablealign=center><math>\displaystyle \rho(\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u})-\mu \nabla^2 \textbf{u}=-\nabla p+ \rho \textbf{g}</math>|| 양변을 밀도로 나누고 [math(\displaystyle \nu=\frac{\mu}{\rho})]와 [math(\displaystyle \nabla w=\frac{\nabla p}{\rho})]를 적용하면 익숙한 비압축성 나비에 스톡스 방정식 완성. ||<tablealign=center><math>\displaystyle \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla \textbf{u})-\nu \nabla^2 \textbf{u}=-\nabla w+ \textbf{g}</math>|| === 압축성 === 유체가 압축성이란 말은 [math(\displaystyle \nabla \cdot \textbf{u} \neq 0)] 와 동치다. 이 압축성 때문에, 방금전에 구했던 응력 텐서를 조금 바꿔줘야 한다. ||<tablealign=center><math>\displaystyle \underline{\underline \tau}=\lambda(\nabla \cdot \textbf{u}) \textbf{I} + \mu (\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T})</math>|| 여기서 [math(\displaystyle \lambda)]는 비례상수이며, [math(\displaystyle I)]는 3 x 3 단위행렬이다. 예상대로 다이버젼스가 클수록 (유체가 더 많이 팽창 할 수록) 응력이 커진다. [math(\displaystyle \zeta=\lambda +\frac{2}{3} \mu)] 를 정의하고 이 텐서를 분해하면 ||<tablealign=center><math>\displaystyle \underline{\underline \tau}=\zeta(\nabla \cdot \textbf{u}) \textbf{I} + \mu (\nabla \textbf{u}+\nabla \textbf{u}^\text{T}-\frac{2}{3}(\nabla \cdot \textbf{u}) \textbf{I})</math>|| 양쪽에 [math(\displaystyle \nabla \cdot )] 연산자를 취해주면 나우는 우변 결과를 오일러 방정식 우변에 대입하자. [math(\displaystyle \bar p=p-\zeta \nabla \cdot \textbf{u})] 도 대입하고 양변을 밀도로 나누면 윗쪽 항목에 쓰여져있는 압축성 나비에-스토크스 방정식이 나온다. 참고로 [math(\displaystyle \nabla \cdot \nabla \textbf{u}=\nabla^2 \textbf{u})]이며, [math(\displaystyle \nabla \cdot \nabla \textbf{u}^\text{T}=\nabla(\nabla \cdot \textbf{u}))]이다. ||<tablealign=center><math> \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}) = - \frac{1}{\rho} \nabla \bar{p} + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{3} \nu \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{g} </math>|| 당연한 얘기지만, [math(\displaystyle \nabla \cdot \textbf{u} = 0)] 를 가정하면 비압축성 형태로 단순화된다. == 창작물에서의 등장 == 만화 [[바텐더]]에서 잠시 언급되는데, [[사사쿠라 류]]의 단골 중 하나인 수학자가 이 나비에-스토크스 방정식의 증명에 상당히 도달했다는 식의 설정으로 등장하며 책까지 쓴 것으로 나온다. 다만 말 그대로 이름만 언급하고 넘어가는 것으로 보아 증명은 실패한 듯. 애초에 '수학자 = 괴짜'라는 이미지를 표현하기 위한 조연이다. [[히가시노 게이고]]의 소설 [[라플라스의 마녀]]에서도 핵심 주제로 등장한다. 특정한 뇌 수술을 받은 사람이 무의식적으로 이 문제를 해결했다는 설정. 며칠 후의 날씨를 정확히 예측하고, 3층 높이에서 종이를 떨어트려서 정확한 곳에 안착시키는 기행을 보여준다.--이건 유체역학뿐만 아니라 제어공학을 신급으로 잘해야 할텐데-- [[크리스 에반스]]가 주연으로 출연한 영화 [[어메이징 메리]]에서도 매우 중요한 요소로 등장한다. 자세한 내용은 스포일러이므로... 웹툰 [[삼국지톡]]에서는 [[제갈량(삼국지톡)|어린 제갈량]]이 이 문제를 풀고 있는 모습으로 등장해[* 작중 시점 나이가 13세인데 거기서 중학교 월반까지 한 상태다.] 제갈량의 비범한 천재성을 강조하는 소재로 활용되었다. 웹툰 [[수학 잘하는 법]]에서 두 주인공이 해결하고자 하는 문제로 나온다. 웹툰 [[놓지마 정신줄]]에서는 853화에 정신이가 썬더피에게 [[나비에-스토크스 방정식]]을 풀어보라 시키고, 그 다음으로는 [[호지 추측]]까지 풀어보라 시킨다. 중간중간의 대사를 보면 정신이는 모든 밀레니엄 문제를 풀은 것으로 보인다... [[우리는 공부를 못해]]에서 [[오가타 리즈]]가, 나리유키를 공항에 갈 수 있도록 선생님들의 주의를 끌기 위해 이 방정식에 대한 질문을 한다. 선생님은 물론 멘탈이 나가고... == 관련 문서 == * [[밀레니엄 문제]] * [[항공우주공학]] * [[대기과학]] * [[유체역학]] [[분류:물리학]][[분류:수학]][[분류:물리화학]][[분류:방정식]][[분류:화학공학]][[분류:해석학(수학)]]